Экзаменационный билет № 5

Экзаменационный билет № 1

1. Умножение матриц и его свойства. Для каких матриц выполняется равенство (A+B)²= A ²+2 AB + B ²? Как изменится произведение матриц AB, если в матрице B поменять местами 1-й и 2-й столбец?

2. Общее уравнение прямой на плоскости: вывод и геометрический смысл коэффициентов. Покажите, что три прямые пересекаются в одной точке: 2 x + y +1=0, x – y +2=0, 4 x – y +5=0.

3. Что такое отображение и преобразование линейного пространства? Какие преобразования называются линейными? Взаимосвязь между линейными преобразованиями и матрицами. Укажите линейное преобразование и выпишите его матрицу: а) A x =(x ₁+ x ₂+6, 5– x ₂– x ₃, x ₃+1), б) A x =(6 x ₁+ x ₂, x ₁–2 x ₂+4 x ₃, 3 x ₂– x ₃), в) A x =(x ₁²+ x ₂², x ₂²– x ₃², x ₃²).

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Экзаменационный билет № 2

1. Обратная матрица. Определение и свойства. Необходимое и достаточное условия существования матрицы. Найти матрицу X из матричного уравнения ABXC=D, если A,B,C – невырожденные матрицы. Чему равно выражение
(7A^–1A–2 AA ^–1)?

2. Канонического уравнения прямой: вывод и геометрический смысл коэффициентов. Что означает, если коэффициент l или m равен нулю? Параметрическая запись уравнения прямой. Запишите уравнение в каноническом виде. Принадлежит ли точка М (4;–2) этой прямой? Если нет, то найдите расстояние от этой точки до данной прямой.

3. Квадратичная форма. Матричная запись квадратичной формы. Взаимосвязь между квадратичными формами и линейными пространствами. Основная теорема о квадратичных формах. Ранг квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм.

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Экзаменационный билет № 3

1. Свойства определителей. Пусть detA=3, чему равен det A ^–1? Объясните почему сумма произведений элементов какой-либо строки на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю?

2. Деление отрезка в заданном отношении (вывод), в частности деление отрезка пополам.

3. Взаимосвязь между линейными пространствами и квадратичными формами. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи линейных преобразований. Метод выделения полных квадратов (метод Лагранжа). Проиллюстрируйте это на примере следующей квадратичной формы: x ₁ x ₂+ x ₂ x ₃.

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Экзаменационный билет № 4

1. Что такое определитель матрицы? Дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителей n -го порядка. Недостатки метода понижения порядка. Сколько слагаемых возникает при полном разложении определителя n -го порядка?

2. Скалярное произведение векторов и его свойства. Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов. При каком условии выполняется равенство: (ab)²= a ² b ²?

3. Определение квадратичных форм. Каноническая форма квадратичных форм. Закон инерции квадратичных форм. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Является ли данная квадратичная форма положительно определенной: x ₁²–15 x ₂²+4 x ₁ x ₂–2 x ₁ x ₃+6 x ₂ x ₃.

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Экзаменационный билет № 5

1. Правая и левая тройка векторов. Векторное произведение векторов: определение и свойства. Взаимосвязь векторов ортонормированного базиса. Упростить выражение: (2 i +4 j)´ k +(j –3 k)´ i. При каком условии выполняется равенство: (a ´ b)²= a ² b ².

2. Поверхности вращения. Вывод уравнения поверхности вращения. Какие поверхности 2-го порядка могут быть поверхностью вращения, а какие не могут?

3. Что такое минор k -го порядка? Какие миноры называются базисными? Сколько базисных миноров может существовать? Опишите все базисные миноры 1-го порядка. Определение ранга матрицы. Могут ли быть матрицы нулевого ранга? Чему равен ранг следующих матриц: , .

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ