Выше был рассмотрен пример решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности, при этом граничные условия 1-го рода учитывались отдельно, вне общей процедуры вычисления коэффициентов матрицы СЛАУ по формулам (2.4). Поэтому, вообще говоря, обобщенная формулировка задачи Дирихле должна выглядеть так:
(2.12)
В этом случае класс пробных функций определяют так, чтобы все обращались в ноль на границе . При этом для уравнений второго порядка
формулировка (2.12) после интегрирования по частям принимает вид
(2.13)
Здесь первый «граничный» член слева равен нулю из-за того, что для задач Дирихле .
Если же поставлены граничные условия Неймана или, в более общем случае, граничные условия 3-го рода
, (2.14)
то требование на пробные функции не накладывается, и «граничный» член в (2.13) вычисляется с учетом (2.14):
.
В результате обобщенная формулировка 3-й кревой задачи задачи принимает вид
, (2.15)
где учтены граничные условия 3-го рода. В частном случае однородных условий Неймана () все «граничные» члены в (2.15) пропадают; при этом говорят о «естественных» граничных условиях.
Кроме того, определяя класс пробных функций, требуют, чтобы функции обладали достаточной гладкостью. В нашем случае это требование означает дифференцируемость пробных функций.
Обобщенная постановка смешанной краевой задачи
для уравнения параболического типа
Рассмотрим краевую задачу для нестационарного уравнения теплопроводности
(2.16)
Зададим начальное условие и различные граничные условия на разных участках границы:
(2.17)
Обозначим через функцию на нижнем временном слое ( ‑ шаг сетки по ) и запишем полудискретизованную по времени неявную схему для уравнения (2.16). Домножим её на пробную функцию и проинтегрируем по области . Будем иметь
Применяя формулу Гаусса-Остроградского и учитывая при этом граничные условия (2.17), получим
(2.18)
Это уравнение должно быть дополнено граничным условием Дирихле (2.17). Призаписи (2.18) учтено, что пробная функция равна нулю на участке границы .
В дальнейшем для простоты будем считать, что коэффициенты постоянны. Кроме того, удобно доопределить параметры нулём на той части границы , где они не заданы. Тогда интегральное тождество (2.18) можно записать чуть более компактно:
(2.19)
Замечание 1. Правая часть исходного уравнения может содержать как распределенные, так и сосредоточенные источники тепла, например
,
где ‑ дельта-функция Дирака. В этом случае первый интеграл в правой части (2.19) будет равен
. (2.20)
Замечание 2. Интегральное тождество (2.19) не учитывает граничного условия Дирихле на ; оно должно учитываться отдельно. Для этого существуют несколько приёмов, основанных на модификации матрицы и правой части системы сеточных (алгебраических) уравнений, которые будут построены на основе интегрального тождества (2.19). Однако можно указать способ приближенного учета условий Дирихле уже на стадии записи интегрального тождества. Он состоит в том, чтобы вместо первого из граничных условий (2.17) записать граничное условие 3-го рода в виде
Очевидно, что если разделить это равентство на очень большое число , то получим следующее приближение:
.
При этом структура интегрального тождества (2.19) не меняется, следует лишь должным образом задать коэффициенты на разных участках границы.