Возрастание и убывание функции
При изучении поведения функции в зависимости от изменения независимой переменной обычно предполагается, что во всей области определения функции независимая переменная изменяется, монотонно возрастая, т. е. что каждое следующее ее значение больше предыдущего. Если при этом последовательные значения функции также возрастают, то и функция называется возрастающей, а если они убывают, то и функция называется убывающей.
Некоторые функции во всей своей области определения изменяются монотонно - только возрастают или только убывают. Многие функции изменяются не монотонно. В одних интервалах изменения независимой переменной они возрастают, а в других интервалах убывают.
Возрастание и убывание функции 
характеризуется знаком ее производной 
: если в некотором интервале 
, то функция возрастает, а если 
, то функция убывает в этом интервале.
Определение. Точки, в которых производная равна нулю, называются критическими или стационарными.
Определение. Точка 
называется точкой минимума (максимума) функции , если в. некоторой окрестности точки выполняется неравенство 
.
Следует иметь в виду, что максимум и минимум в данном случае являются локальными.
На рис. 7.4 изображены локальные максимумы и минимумы.
Максимум и минимум функции объединены общим названием: экстремум функции.
Теорема 1. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке 
функция имеет в этой точке максимум или минимум, то ее производная при обращается в нуль, 
.
Теорема 2. (достаточный признак существования экстремума функции). Если непрерывная функция имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку (за исключением может быть самой этой точки), и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку меняет знак с плюса на минус, то функция в этой точке имеет максимум, а при переходе знака с минуса на плюс – минимум.
Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба
Определение. Кривая называется выпуклой (обращена выпуклостью вверх) на интервале 
, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом участке.
Определение. Кривая называется вогнутой (обращена выпуклостью вниз) на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом участке.
Рассмотрим теперь достаточный признак, позволяющий установить, является ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.
Теорема 3. Пусть функция имеет вторую производную 
во всех точках некоторого интервала . Если во всех точках этого интервала 
, то график функции в этом интервале выпуклый, если же 
, то – вогнутый.
Определение. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
На рис. 7.1 точка 
является точкой перегиба.
Нахождение точек перегиба графика функции основано на следующих двух теоремах.
Теорема 4. (достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная непрерывной функции меняет знак при переходе через точку с абсциссой , то эта точка является точкой перегиба графика функции.
Теорема 5. (необходимый признак существования точки перегиба). Пусть функция имеет в интервале непрерывную вторую производную . Тогда, если точка с абсциссой 
является точкой перегиба графика данной функции, то 
.
Абсциссы точек перегиба графика непрерывной функции следует искать среди тех точек, в которых вторая производная или равна нулю или разрывна (в частности, не существует).
Асимптоты функции
Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, расстояние от которой до точек графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат.
Асимптоты бывают горизонтальными, вертикальными и наклонными.
1. Прямая 
является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов 
(правосторонний или левосторонний) равен 
. Прямая может быть вертикальной асимптотой и в том случае, если - точка разрыва или граничная точка области определения.
2. Прямая 
является горизонтальной асимптотой, если 
. Если 
, то – правосторонняя горизонтальная асимптота, если 
, то — левосторонняя горизонтальная асимптота.
3. Если 
и 
, то прямая 
является наклонной асимптотой графика функции .
На рис. 7.2 изображены наклонная и вертикальная асимптоты.
