Программа курса «Высшая алгебра» для студентов 1-го курса ФЕН НГУ
(лектор − доц. А.Н. Ряскин)
Организационно-методический раздел.
1.1. Курс «Высшая алгебра» реализуется в рамках направлений?????. Является общей математической дисциплиной. Относится к федеральной компоненте.
1.2. Цели и задачи курса.
Дисциплина «Высшая алгебра» предназначена для подготовки бакалавров и специалистов и должна обеспечивать (наряду с другими дисциплинами математического цикла, определяемыми учебными планами соответствующего направления) фундаментальную математическую подготовку, необходимую для изучения дисциплин естественнонаучного цикла, и, тем самым, для получения базового общего высшего образования, ориентированного на его будущую профессиональную деятельность.
Целью математического образования является развитие
1) навыков использования математических методов и основ математического моделирования;
2) навыков математического мышления, включающих в себя умение рассуждать, основываясь на достаточных посылках и применяя логически корректные правила вывода; умение использовать математические понятия и символику для выражения качественных и количественных отношений;
3) важных интеллектуальных и личностных качеств обучаемого: точности и ясности мысли, умению выделять главное, имеющее принципиальное значение; способности сосредоточиться, внимательности, настойчивости.
Частной целью курса высшей алгебры, изучаемого на первом курсе факультета естественных наук, является:
1) сохранение определенной преемственности со школьным курсом математики, включающее повторение на более высоком уровне принципиально важных вопросов и понятий (использование теоретико-множественного языка, действительные и комплексные числа, решение систем линейных уравнений) и ликвидацию имеющихся пробелов;
2) последовательное изложение достаточно общих математических понятий и конструкций, обеспечивающих широкий спектр их применимости, точность формулировок утверждений об изучаемых математических объектах, использующих адекватный и современный математический язык, ясность и четкость доказательств, по возможности избегающих громоздких технических моментов, демонстрация целостности и взаимосвязанности математики, естественности возникновения и развития новых математических понятий;
3) выработка необходимых технических (вычислительных) навыков: умения решать системы линейных уравнений, перемножать матрицы, вычислять определители, определять вид кривых и поверхностей второго порядка.
1.3. Требования к уровню усвоения курса высшей алгебры.
По окончании изучения курса студент должен
− иметь представление о важнейших математических (алгебраических) понятиях, на основе которых возможны применение математики при изучении дисциплин профессионального цикла и в практической деятельности, а также повышение в дальнейшем своей квалификации;
− знать определения математических понятий, вводимых в курсе, и доказательства изучавшихся утверждений;
− уметь решать задачи по изученным темам на уровне трудности задач из книги: Д.К.Фаддеев, И.С.Соминский «Сборник задач по высшей алгебре» − М.: Наука, 1977.
1.4. Формы контроля
Итоговый контроль. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрены: экзамен и зачет.
Текущий контроль. В течение семестра выполняются под две контрольных работы (90-минут на каждую), одно задание (в письменной форме), а также краткое тестирование (формулировки определений и утверждений, ответы на контрольные вопросы) во время семинарских занятий − по мере изучения новых понятий. Выполнение указанных работ является обязательным для всех студентов, а результаты текущего контроля служат основанием для выставления оценок в ведомость контрольной недели на факультете.
Содержание дисциплины.
2.1. Отбор материала курса высшей алгебры неизбежно является традиционным. Тем не менее, различные варианты последовательности изложения как тем, так и материала внутри темы, выбор различных доказательств и присутствие ряда методических усовершенствований приводят к тому, что предложенный курс в целом отличается от других. Комплексные числа появляются в курсе в связи с необходимостью обеспечить основы для интегрирования рациональных дробей. Векторы вводятся как естественное обобщение хорошо знакомого из школьного курса понятия вектора на плоскости и в пространстве, системы линейных уравнений появляются для решения задачи о линейной независимости системы векторов и задачи о разложении вектора. Определители возникают для решения невырожденных систем линейных уравнений и затем используются для нахождения собственных чисел и собственных векторов линейного оператора, что требуется для классификации кривых и поверхностей второго порядка. Предлагается также ознакомление с базисными понятиями теории групп.
2.2. Тематический план курса.
| Наименование тем | Лекции | Семинары | Лабораторные работы | Самостоятельная работа | Всего часов |
| 1. Комплексные числа и многочлены | ?? | ?? | |||
| 2. Матрицы и определи-тели | ?? | ?? | |||
| 3.Векторы | ?? | ?? | |||
| 4. Системы линейных уравнений | ?? | ?? | |||
| 5. Скалярое произведе-ние. Квадратичные фор-мы | ?? | ?? | |||
| 6. Группы и абстрактные пространства | ?? | ?? | |||
| Итого по курсу | ?? | ?? |
2.3. Содержание отдельных тем.
ТЕМА 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ(10 ч.)
Лекция I
Квадратные матрицы и действия над ними. Прямоугольные матрицы. Запись системы линейных уравнений в матричной форме. Комплексные числа как матрицы.
Лекция II
Геометрическое изображение комплексных чисел. Нормальная алгебраическая форма комплексного числа. Сложение и умножение комплексных чисел в нормальной алгебраической форме. Комплексно-сопряженные числа и их свойства. Деление комплексных чисел.
Нормальная тригонометрическая форма. Аргументы чисел (–z) и z-1. Умножение и деление комплексных чисел в н.т.ф. Формула Муавра. Синусы и косинусы кратных углов.
Лекция III
Многочлены. Понятие корня. Теорема Безу. Функциональное и алгебраическое равенство многочленов. Кратные корни. Принцип Гаусса. Разложение многочлена на линейные множители. Формулы Виета. Квадратные уравнения. Двучленные уравнения и их связь с правильными многоугольниками. Корни из 1 и их расположение на коордионатной плоскости.
Лекция IV
Теорема о сопряженных корнях многочленов с действительными коэффициентами. Кратность сопряженного корня. Разложение многочленов с действительными коэффициентами в произведение многочленов 1-й и 2-й степеней с действительными коэффициентами.
Лекция V
Разложение правильной рациональной дроби в сумму простых дробей.
ТЕМА 2. МАТРИЦЫИ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (8 ч.)
Лекция VI
Транспонирование матриц. Обратимая матрица. Единственность обратной маатрицы. Условие обратимости диагональной матрицы. Системы линейных уравнений с обратимой матрицей.
Подстановки. Разложение в произведение независимых циклов. Четные и нечетные подстановки.
Лекция VII
Умножение четности подстановки при умножении на транспозицию. Четность обратной подстановки.
Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителей.
Лекция VIII
Миноры и алгебраические дополнения. Оределитель произведения двух квадратных матриц.
Лекция IX
Обратная матрица и ее вычисление.
Формулы Крамера. Определитель Вандермонда. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
ТЕМА 3. ВЕКТОРЫ(6 ч.)
Лекция X
Арифметическое векторное пространство. Подпространство. Линейная оболочка. Пространство решений однородной системы линейных уравнений. Линейная зависимость.
Лекция XI
Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Условие равенства нулю определителя.
Основная теорема о линейной зависимости. Размерность подпространства и построение базиса.
Лекция XI
Теорема о ранге матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Способы вычисления ранга матрицы. Вычисление базиса линейной оболочки.
ТЕМА 4. СИСТЕМЫЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (4 ч.)
Лекция XIII
Критерий совместимости. Эквивалентные системы. Однородная система с квадратной матрицей. Фундаментальная система решений однородной системы.
Связь между решениями систем AX=B и AX=0. Общее решение совместной системы.
Лекция XIV
Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Характеристический многочлен матриц. Нахождение собственных векторов. Максимальное число линейно независимых собственных векторов, относящихся к данному собственному числу матрицы.
Подобие матриц. Матрицы, подобные диагональной.
ТЕМА 5. СКАЛЯРОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ(6 ч.)
Лекция XV
Скалярное произведение векторов в Rn. Cn и его свойства. Норма (или длина) вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами. Ортогональные векторы. Построение ортогонального базиса.
Лекция XVI
Собственные числа эрмитовой матрицы. Ортогональность собственных векторов, относящихся к разным собственным числам эрмитовой матрицы.
Квадратичные и эрмитовы формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Лекция XVII
Канонические уравнения кривых второго порядка.
Определение вида кривой второго порядка.
ТЕМА 6. ГРУППЫИ АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (2 ч.)
Лекция XVIII
Общее понятие группы. Подгруппы. Абелевы группы.
Группа симметрии и группа вращений правильного многоугольника. Запись элементов группы симметрии квадрата в виде подстановок и матриц. Классификация четырехугольников по их группам симметрии.
2.4. Перечень контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы.
Приведем для примера один из вариантов задания на семестр. Дается по книге: Д.К.Фаддеев, И.С.Соминский «Сборник задач по высшей алгебре» − М.: Наука, 1977.
Задачи №№ 7, 12, 15a)-d), 19, 43, 45, 50, 144, 170, 175, 344, 374, 409, 480g), 481d), 545, 551, 655d), 656c), 657b), 658a), 880, 901, 925f), 951b), e), f).
Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
3.3. Вопросы для подготовки к экзамену.
Вопросы для подготовки к экзамену представляют из себя по другому оформленные предложения из программы курса. Приведем для примера список экзаменационных билетов.