Д.М.4.3. Операционное исчисление.

Программа экзамена по высшей математике (ФИМ)

(4-ый семестр, 2010-2011 уч.г.)

Д.М.4.1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

1. Комплексные числа (к.ч.). Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи к.ч.

2. Действия над к.ч. в алгебраической форме.

3. Действия над к.ч. в тригонометрической форме. Формула Муавра. Формула для вычисления , изображение корней на комплексной плоскости.

4. Функция комплексного переменного (ф.к.п.). Непрерывность. Предел ф.к.п.

5. Аналитичность ф.к.п. Условия Коши-Римана. Производная ф.к.п.

6. Задача восстановления аналитической функции по известной вещественной (мнимой) части.

7. Интеграл от ф.к.п., определение и способы вычисления.

8. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной области.

9. Интегральная формула Коши и следствие из нее.

10. Особые точки ф.к.п., их классификация. Вычет ф.к.п. относительно особой точки. Вычисление вычетов.

11. Основная теорема о вычетах. Вычисление интегралов от ф.к.п. с помощью вычетов.

Д.М.4.2. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.

12.Основные понятия и определения ТВ. Случайные события. Алгебра событий.

13. Элементы комбинаторики.

14.Классическое и статистическое определения вероятности.

15.Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.

16.Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

17. Независимые испытания. Схема Бернулли. Формулы Бернулли и Пуассона. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях.

18. Независимые испытания. Схема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

19.Дискретная случайная величина и её числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

20. Некоторые распределения дискретной случайной величины: равномерное, биномиальное, гипергеометрическое, геометрическое.

21.Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

22.Некоторые распределения непрерывных случайных величин:

а) равномерное;

б) нормальное;

в) показательное.

23. Основные задачи МС. Генеральная и выборочная совокупности.

24. Выборка и её представление:

а) распределение частот;

б) эмпирическая функция распределения;

в) полигон и гистограмма частот и относительных частот.

25. Оценки параметров распределения. Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия.

26. Интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения.

27. Проверка статистических гипотез. Критерий Пирсона.

28. Корреляционный анализ. Уравнения линейной регрессии.

Д.М.4.3. Операционное исчисление. УМФ.

29. Определение оригинала. Определение изображения (оператора) Лапласа.

30. Вывод основных формул соответствия между оригиналами и изображениями.

31. Основные теоремы (свойства оператора Лапласа).

32. Обратное преобразование Лапласа. Теорема обращения (разложения).

33. Операционный метод решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

34. УМФ. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнение колебания струны. Уравнение теплопроводности. Уравнение Лапласа.

35. Решение уравнения свободных колебаний струны методом Фурье (разделения переменных).

Задачи для подготовки к экзамену

(4-ый семестр, 2011-2012 уч.г.)

Д.М.4.1. ТФКП

1) Дано:

Найти:

2) Вычислить все значения:

(а) ; (б) (в)

3) Вычислить: (а) (б) (в)

4) Найти из равенства

(а)

(б)

5) Найти значение функции: а) ; б)

6) Выделить вещественную и мнимую части функции , проверить аналитичность, найти производную (если возможно):

(а) (б)

(в) ; (г)

7) Восстановить аналитическую функцию по известной мнимой части: ;

8) Восстановить аналитическую функцию по известной вещественной части: а) ; б)

9) Вычислить интегралы:

а) , где -дуга параболы от

б) ; в) , где С:

(1) (2)

г) , д) (отв: )

е) .

ж) .

з) , где С:

и) -вычислить по основной теореме о вычетах.

10) Найти вычеты функции относительно особых точек: (а) ; (б)

Д.М.4.2. ТВ и МС

1) В ящике 12 шаров: 6 красных и 6 белых. Из ящика вынимают сразу 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них 4 красных шара и 2 белых.

2) В партии из 10 изделий 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 2 наугад взятых изделий есть хотя бы одно нестандартное.

3) Прибор содержит 3 независимо работающих устройства, поломка каждого из которых приводит к выходу из строя всего прибора. Вероятности безаварийной работы в данный момент каждого из этих устройств соответственно равны: 0,8, 0,9 и 0,95. Найти вероятность выхода из строя прибора.

4) Вероятность поражения цели одним из двух орудий равна 0,8, а другим – 0,7. Какова вероятность того, что при залпе цель будет поражена обоими орудиями? Хотя бы одним орудием?

5) Всхожесть семян данного растения равна 0.9. найти вероятность

того, что на 900 посаженных семян число проросших будет заключено между

790 и 830.

6) В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить

вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность

рождения мальчика равна 0.515.

7) Вероятность того, что утечка газа происходит на подземном участке газопровода равна 0,4, на подводном участке – 0,5. Вероятность обнаружения утечки за время Т на подземном участке равна 0,7, на подводном – 0,8. Какова вероятность, что за время Т течка газа будет обнаружена?

8) Вероятность того, что утечка газа происходит на подземном участке газопровода равна 0,4, на подводном участке – 0,5. Вероятность обнаружения утечки за время Т на подземном участке равна 0,7, на подводном – 0,8. За время Т течка газа была обнаружена. Что вероятнее: утечка была на подземном или подводном участке газопровода?

9) Дается ряд распределения д.с.в.

Найти: а, М(Х),D(Х)