Метод Ньютона (метод касательных)




Пусть корень уравнения f (х) = 0 отделен на отрезке [ а; b ], при­чем f ' (х) и f" (х) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем отрезке [ а; b ]. Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой у = f (х) заменяется касательной к этой кривой.

Первый случай. Пусть f (а) < 0, f (b) > 0, f ' (х) > 0, f" (х) > 0 (см. рис. 4 (а)) или f (а) > 0, f (b) < 0,

f ' (х) < 0, f" (х) <0 (рис. 4 (б)). Проведем касательную к кривой у = f (х) в точке В0 (b; f (b)) и найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох. Известно, что уравнение касательной в точке В0 (b; f (b)) имеет вид

Рис. 4

Полагая у=0, х=х0 , получим

(10)

Теперь корень уравнения находится на отрезке [ а; х1 ]. Применяя сно­ва метод Ньютона, проведем касательную к кривой в точке В11; f (х1)) и получим

,

и вообще

(11)

 

Получаем последовательность приближенных значений х1, х2,,…., хп,,.., каждый последующий член которой ближе к корню , чем предыдущий. Однако все хп остаются больше истинного корня , т.е. хп прибли­женное значение корня с избытком.

Второй случай. Пусть f (а) < 0, f (b) > 0, f ' (х) > 0, f" (х) < 0 (рис. 5(а)) или f (а) > 0, f (b) < 0,

f ' (х) < 0, f" (х) >0 (рис. 5(б)). Если снова провести касательную к кривой у = f (х) в точке В, то она пересечет ось абсцисс в точке, не принадлежащей отрезку [ а; b ]. Поэтому проведем касательную в точке А0 (а; f (а)) и запишем ее уравнение для данного случая:

Рис. 5

Полагая у=0, х=х1, находим

(12)

Корень находится теперь на отрезке [ х1 ; b ]. Применяя снова метод Ныотона, проведем касательную в точке

А11; f (х1) и получим

и вообще (13)

Получаем последовательность приближенных значений х1, х2,,…., хп,,.., каждый последующий член которой ближе к истинному корню , чем предыдущий, т. е. хп — приближенное значение корня с недостат­ком.

Сравнивая эти формулы с ранее выведенными, замечаем, что они отличаются друг от друга только выбором начального приближения: в первом случае за х0 принимался конец b отрезка, во втором — ко­нец а.

При выборе начального приближения корня необходимо руковод­ствоваться следующим правилом: за исходную точку следует вы­бирать тот конец отрезка[ а;b ], в котором знак функции совпадает со знаком второй производной. В первом случае f (b) f " (х) > 0 и началь­ная, точка b= х0, во втором f (а) f "(х) > 0 и в качестве начального приближения берем а = х0.

Рис. 6

Для оценки погрешности можно пользоваться общей формулой

(14)

где (15)

В том случае, когда отрезок [ а, b ] настолько мал, что на нем выполняется условие М2 < 2 т1, где , а , точность приближения на п-м шаге оценивается следующим образом:
если | хп — хп+1 |< то | хп | < 2.

Если производная f ' (х) мало из­меняется на отрезке [ а;b ], то для упрощения вычислений можно поль­зоваться формулой , (16)

т. е. значение производной в на­чальной точке достаточно вычис­лить только один раз. Геометриче­ски это означает, что касательные в точках Вп (хп; f (хп)) заменяются прямыми, параллельными каса­тельной, проведенной к кривой у= f (х) в точке В0 (х0; f (х0))(см. рис. 6)

Пример 1. Методом касательных уточ­нить до = 0,001 корень уравнения , расположенный на отрез­ке [ - 2,75; - 2,5].

Решение: Находим f ' (х) = 3х2 + 6х, f" (х) = 6х + 6. На отрезке [ - 2,75; - 2,5] имеют место неравенства f (- 2,75)<0, f(- 2,75) f" (х) > 0. Поэтому, чтобы воспользоваться методом касательных, следует выбрать х0 =- 2,75. Вычисления будем вести по формуле (16). Находим

f" (-2,75) = 6,1875. Для удобства все вычисления сведем в следующую таблицу:

 

n xn 3
  -2,75 -20,797 7,5625 22,6875 -1,111 0,179
  -2,571 -16,994 6,6100 19,8300 -0,164 0,026

 

149

  -2,545 -16,484 6,4770 19,431 -0,053 0,008
  -2,537 -16,329 6,43646 19,309 0,020 0,003
  -2,534 -16,271 6,4212 19,2636 0,007 0,001
  -2,533          

 

Из таблицы видно, что | х5 — х4 |< 0,001, поэтому корень = - 2,533.

Задание

Вариант 1

1. Дано уравнение .

а) Отделить корни данного уравнения, пользуясь аналитическим методом;

б) методом половинного деления уточнить один корень уравнения с точностью 10-3;

 

2. Дано уравнение .

а) Отделить корни данного уравнения, пользуясь аналитическим методом;

б) методом касательных уточнить один корень уравнения с точностью 10-3;

 

Вариант 2

1. Дано уравнение .

а) Отделите корни уравнения, пользуясь аналитическим методом;

б) методом половинного деления уточнить один корень данного уравнения с точностью 10-3;

2. Дано уравнение .

а) Отделить корни данного уравнения, пользуясь аналитическим методом;

б) методом касательных уточнить один корень данного уравнения с точностью 10-3;

 

 

Вариант 3

1. Дано уравнение .

а) Отделить корни уравнения, пользуясь аналитическим методом;

б) методом половинного деления уточнить один корень данного уравнения с точностью 10-3;

2. Дано уравнение .

а) Отделить корни данного уравнения, пользуясь аналитическим методом;

б) методом касательных уточнить один корень данного уравнения с точностью 10-3;

 

Вариант 4

1. Дано уравнение .

а) Отделить корни уравнения, пользуясь аналитическим методом;

б) методом половинного деления уточнить один корень данного уравнения с точностью 10-3;

 

2. Дано уравнение .

а) Отделить корни данного уравнения, пользуясь аналитическим методом;

б) методом касательных уточнить один корень данного уравнения с точностью 10-3;

 

4. Контрольные вопросы:

1. Какие уравнения называются алгебраическими? Трансцентдентными?

2. Что значит решить уравнение? Какие этапы включает в себя решение уравнение?

3. Какие методы для отделения корней вы знаете?

4. Назовите методы уточнения корней и формулы, которые в них применяются.

 

5. Содержание отчёта:

5.1 Наименование работы

5.2 Цель работы

5.3 Задание

5.4 Формулы для расчета

5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов

5.6 Выводы по работе

5.7 Ответы на контрольные вопросы

6. Литература:

1. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К., Элементы численных методов: учебник для студ.

сред проф. образования. - М.: Издательский центр «Академия», 2007, с.49-56, 67-73.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: