Метод парных сравнений. Мера согласованности. Вектор приоритетов.

Перейдём теперь к рассмотрению методов построения шкалы предпочтений, получаемой при экспертном высказывании суждений о мере различия между сравнительными объектами.

В МАИ для этих целей применяются метод парных сравнений. Если для сравнения выбрано n(А₁,А₂,…,А_n) объектов, то результаты сравнений заносятся в квадратную n – мерную матрицу вида:

Элементом этой матрицы а_ij­ является мера предпочтения А_i объекта по сравнению с Аj объектом. Таким образом i–я строка матрицы показывает меру предпочтения i–го объекта над другими (n-1) объектами n над самим собой. Мера предпочтения выражается экспертом в шкале Саати и принимает значения от 1 до 9, если объект А_i предпочтительнее или более важен чем объект А_j. В случае, когда i=j, мера предпочтения равна 1, то есть диагональные элементы матрицы парных сравнений всегда равны 1. Следует учитывать, что для матрицы парных сравнений выполняются следующие условия:

Это означает, что если по шкале Саати объект А_i предпочтительнее A_j и а_ij=5, по мере предпочтения А_j объекта по отношению к А_i т.е. .

Таким образом, экспертом заполняется только верхняя наддиагональная часть матрицы парных сравнений (заштрихованная) и матрица приобретает следующий вид (например для четырёх сравнительных объектов).

Экспертная оценка сравнительной важности объектов может осуществляться в двух ситуациях. Первая ситуация имеет место, если свойства сравниваемых объектов имеет одну природу и одинаковые единицы измерения. Тогда если мера свойств А_i равна ω_i, а мера объекта А_j равна ω_j, то мера предпочтения объекта А_i по сравнению с объектом А_j равна . Матрица предпочтений сформирована для такой ситуации является согласованной.

В общем случае над согласованностью подразумевается то, что при наличии основного массива необработанных данных, все другие данные могут быть логически получены из них. Если сравнивается n объектов, то достаточно (n-1) суждения, в которых сравниваемые объекты представлены, по крайней мере, один раз.

Рассмотрим для примера матрицу парных сравнений для трёх объектов (А₁,А₂,А₃). Путём измерения было получено, что объект А₁ в 3 раза превосходит объект А₂ и в 6 раз объект А₃, .

При n=3 достаточное число сравнений равно n-1=3-1=2. Заполняем матрицу и получаем.

Неизвестные суждения получим из системы уравнений

А₁=3А₂ А₁=6А₃

Откуда 3А₂=6А₃ или А₂=2А₃ и А₃=1/2А_2.

Такая согласованность называется полной, которая включает порядковую согласованность или свойство транзитивности (если А_i предпочтительнее А_j, а А_j предпочтительнее А_к, то А_i предпочтительней А_к), а также кординальную согласованность (а_ij·а_jk=a_ik).

Вторая ситуация, наиболее распространённая, состоит в том, что свойства сравниваемых объектов могут быть оценены только по шкале Саати. Например влияние капитала и политики на экономику страны.

В этом случае добиться полной согласованности матрицы парных сравнений невозможно.

Естественно после экспертных оценок по методу парных сравнений поставить вопрос о степени согласованности полученных оценок.

В качестве меры согласованности рассматривают два показателя:

- индекс согласованности (ИС);

- относительная согласованность (ОС).

Из теории матриц известно, что согласованность обратно симметричной матрицы эквивалентна требованию равенства её максимального собственного значения λ_max и числа сравниваемых объектов n (λ_max=n).

Поэтому в качестве меры согласованности рассматривают нормированное отклонение λ_max от n, называемое индексом согласованности:

(1)

Для того чтобы оценить, является ли полученное согласование приемлемым или нет, его сравнивают со случайным индексом СИ.

Случайным индексом называют индекс согласованности, рассчитанный для квадратной, положительной n-мерной обратно симметричной матрицы, элементы которой сгенерированны случайным образом (датчиком равномерно распределенных случайных чисел в интервале 1-9). Для матрицы с фиксированным значениям n индекс рассчитывается как среднее значение для выборки N=100. Ниже приведена таблица 2. для величин случайного индекса для различных матриц порядка от 1 до 15.

Таблица 2.

Получив в результате расчёта по формуле (1.) индекс согласованности и выбрав по таблице 2. случайный индекс для заданного порядка матрицы, рассчитывают отношения согласованности (ОС):

(2.)

Если величина ОС < 1, то степень согласованности считается приемлемой.

Если ОС > 0,1 эксперту рекомендуется пересмотреть свои суждения. Для этого необходимо выявить те позиции в матрице суждений, которые вносят максимальный вклад в величину отношения согласованности, и попытаться изменить меру несогласованности в меньшую сторону на основе более глубокого анализа вопроса.

Анализ результатов экспертных оценок заключается в математической обработке матрицы суждений с целью получения вектора приоритетов сравниваемых объектов. С математической точки зрения задача сводится к вычислению компоненты главного собственного вектора, который после нормализации становится вектором приоритетов.

Компонента главного собственного вектора вычисляется как среднее геометрическое значение в строке матрицы:

(7.3)

Компонента вектора приоритетов вычисляется как нормированное значение главного собственного вектора: