Свойства аффинных преобразований




Раздел I

Аффинные преобразования плоскости и пространства

 

Определение. Биективное отображение множества точек плоскости (пространства) на себя называется преобразованием плоскости (пространства).

Определение. Пусть на плоскости введены 2 АСК: I: 1ē2 и I’: O’ē’1ē’2, тогда преобразование плоскости при котором АСК I переходит в АСК I’, а произвольная т. М переходит в некоторую т. М’, которая в АСК I’ имеет те же координаты, что и т.М в АСК I, называется аффинным преобразованием (АП) плоскости.

М(х; у) в I

M→ М’(х; у) в I’

Определение. Пусть в пространстве введены 2 АСК: I: 1ē2ē3 и I’: O’ē’1ē’2ē’3, тогда преобразование пространства, при котором АСК I переходит в I’, а произвольная т.М переходит в т.М’, которая в АСК I’ имеет те же координаты что и т.М в АСК I, называется аффинным преобразованием пространства.

М(х; у; z) в I

M→ М’(х; у; z) в I’

Частный случай

Определение. АП плоскости (пространства), в которой ПДСК переходит в ПДСК, называется движением плоскости (пространства).

А – аффинное преобразование.

Д – движение.

М(x; y) в ПДСК Oīj (I)

Д

М → М’

М’(x; y) в ПДСК O’ī’j’ (I’)

М1(x 1; y 1) в I М1’(x 1; y 1) в I’

М2(x 2; y 2) в I М2’(x 2; y 2) в I’

Только ПДСК!!!

Утверждение

При движении расстояние между точками сохраняется.

Доказательство выше.

 

Свойства аффинных преобразований

Если при АП А , если в I, то и в I’

Доказательство:

Пусть

М1(x 1; y 1) М2(x 2; y 2) в I

А

М1→ М1’(x 1; y 1) в I’

М2→М2’(x 2; y 2) в I’

s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>1</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> в I’

ч.т.д.

 

При А

Доказательство:

в I

в I

в I

в силу свойства

в I’

в I’

s w:val="28"/></w:rPr><m:t>2</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> в I’

в I’

 

Доказательство:

в I

в I

в I’

в I’

в I’ =>

 

Пусть имеем и набор чисел

, тогда

Доказательство:

Линейно-зависимая система векторов при А переходит в линейно зависимую систему.

Пусть – лин. завис. система векторов

, где хотя бы одно число ≠0, для этой системы векторов выполняется равенство

А

=> - л/з по определению.

 

Преобразование обратное к аффинному преобразованию тоже является аффинным преобразованием.

I I’

М(x;y) в I →М’(x;y) в I’

 

М(x;y) в I М’(x;y) в I’

Преобразование А-1 удовлетворяет определению аффинного преобразования.

 

Линейно-независимая система векторов при аффинном преобразовании переходит в линейно-независимую систему.

Доказательство: от противного.

Пусть лин.независ. сист. лин.завис. сист.

лин.независ. сист. лин.завис. сист.

Это противоречит свойству , получили противоречие. Наше предположение неверно.

л/н. сист. л/н. сист.

 

Пусть имеется аффинное преобразование A

I I’

М(x;y) в I →М’(x;y) в I’

тогда, если при этом преобразовании АСК (репер)

II II

то для произв. т.М выполняется условие:

M(ξ;η) в II → M’(ξ;η) в II’

(это свойство позволяет менять системы координат в определении А).

 

Композиция двух аффинных преобразований в плоскости А 1 и А 2 является снова аффинным преобразованием плоскости.

А1 А2

I→I’ II→II’

М(x;y) в I →М’(x;y) в I’ Р(ξ;η) в II → Р’(ξ;η) в II’

Рассмотрим, в какую АСК перейдет система I’ при преобразовании А 2. Пусть

В силу свойства точка М’

композиция A1 и A2

АСК

Таким образом, композиция двух аффинных преобразований является аффинным преобразованием по определению.

 

Пусть E – тождественное преобразование плоскости, оно является аффинным. (def)

E – единица в группе аффинных преобразований.

 

Рассмотрим аффинное преобразование А и А-1 оно является аффинным по .

Рассмотрим композицию:

М →М’→М

 

Ассоциативность

 

Множество всех преобразований плоскости (пространства) образуют группу, где групповой операцией является композиция аффинных преобразований (доказательство на основании свойств ).

 

Свойства прямых и плоскостей и других геометрических фигур
при аффинном преобразовании.

При АП множество точек плоскости, удовлетворяющее уравнению

(1) F(x;y) = 0 в АСК I,

переходит во множество точек плоскости, которое удовлетворяет этому же уравнению, но в АСК I’.

 

Следствие

При АП плоскости прямая → прямую, эллипс → эллипс, гипербола → гиперболу, парабола→параболу. (в силу 14о).

Свойство, аналогичное справедливо для пространства.

14о’. Множество точек пространства, удовлетворяющее уравнению

(2) F(x;y;z)=0 в I, при аффинном преобразовании A

переходит во множество точек пространства, которое удовлетворяет уравнению (2), но в системе I’.

При АП плоскости и пространства: параллельные прямые→в параллельные прямые, а параллельные плоскости→в параллельные плоскости.

Доказательство:

в I в I’

в I в I’

после АП плоскости переходят в такие же плоскости, которые в системе I’ имеют такие же уравнения, что и в системе I

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: