Сохранение отношений объемов тел при аффинном преобразовании пространства.

- определитель матрицы АП пространства

(V)=

Для двух параллелепипедов

;

Мы доказали теорему.

Теорема 2. При АП пространства отношение объемов параллелепипедов сохраняется.

Утверждение. Отношение объемов тел при АП сохраняется.

Представление произвольного АП плоскости
в виде композиции движения и двух сжатий
по взаимно перпендикулярным направлениям.

Теорема. Любое АП плоскости можно представить в виде композиции движения и двух сжатий по взаимно перпендикулярным направлениям.

Лемма. При выполнении произвольного АП плоскости существуют два взаимно перпендикулярных направления плоскости, которое переходит в два взаимно перпендикулярные направления (этой же плоскости).

Доказательство:

Рассмотрим любое АП плоскости А и рассмотрим окружность с центром в т.Р.

Мы знаем, что окружность эллипс.

Центр окружности т.Р центр эллипса P’(центр симметрии)

Найдем на эллипсе (образе окружности) точку ближайшую к центру Р’, обозначим ее К’

К’Р’ – наименьшее расстояние до точек эллипса.

Пусть при АП А т.К (окр.) → т.К’ (элл.)

Рассмотрим касательную к окружности в т.Р, по свойству касательной она перпендикулярна радиусу РК. Возьмем т.М не принадлежит К на касательной.

При АП А касательная NK→в касательную эллипса.

Доказательство: (от противного)

Пусть K’N’ не является касательной К не может перейти в две точки, единственность отображения У т. N’ нет прообраза => K’N’ – касательная к эллипсу, где K’ – точка касания.   Является ли отрезок K’P’ наименьшим расстоянием до прямой? Доказательство: (от противного) Пусть существует L’ | L’P’|<| K’P’| Но по условию , где Н0 – точка на эллипсе, т.е. по предположению | L’P’|<| Н0P’|, т.е. L’ лежит внутри эллипса => K’N’ – секущая =>

=>получаем противоречие => | K’P’| - кратчайшее расстояние от т.P’ до K’N’

Кратчайшее расстояние от P’ до K’N’ измеряется по перпендикуляру => => две взаимно перпендикулярных направления найдены.

Доказательство:

Пусть дано АП А плоскости

В качестве начальной СК определяющей данное АП А возьмем ПДСК , причем i, j такие векторы, которые при данном АП→ в 2 взаимно вектора. Такие векторы можно найти в силу леммы.

Пусть система

причем , но , ,

Рассмотрим преобразование сжатия ()

- преобразование, при котором любой вектор изменяет свою длину в раз, соответственно вектор перпендикулярный этому направлению не изменяет свою длину.

(единичный)

Рассмотрим АП сжатие , которое переводит

Рассмотрим композицию АП

(движение)

А преобразование, в котором ПДСК →ПДСК

(обратное сжатие)

- сжатие вдоль вектора с коэффициентом

- сжатие вдоль вектора с коэффициентом

А – произведение АП

Теорема. Произвольное АП пространства можно представить в виде композиции некоторого движения пространства и трех сжатий по взаимно перпендикулярны направлениям.

Доказательство: аналогично.