Замкнутой САУ называют систему, в которой процесс управления ОУ зависит от результата управления.

Системы, которые непосредственно не используют конечные результаты управления объектом, называют разомкнутыми. Следовательно, САУ, построенные с использованием принципа управления по возмущению являются разомкнутыми.

Рассмотрим особенности замкнутых САУ.

Объект управления характеризуется уравнением вида

.

При отсутствии управления при изменении возмущающего воздействия на ОУ на его выходе появляется отклонение управляемого сигнала от требуемого значения. Это отклонения является ошибкой управления при отсутствии обратной связи, то есть в разомкнутой системе. Его величина определяется как

.

Канал измерения сигнала обратной связи может быть представлен выражением вида:

.

Элемент сравнения сигналов представляется выражением вида

.

Управляющее воздействие на объект может быть представлено как

.

С учетом этих уравнений сигнал на выходе объекта управления определяется как

.

Решая это уравнение относительно управляемой координаты ОУ получаем, что

.

Учитывая, что , получаем

.

где – заданное значение управляемой координаты,

— ошибка управления в замкнутой САУ.

– суммарный коэффициент передачи замкнутого контура управления.

Очевидно, что при достаточно большом коэффициенте передачи замкнутого контура управления ошибка управления в замкнутой системе будет много меньше, чем в разомкнутой. То есть справедливо соотношение

.

Статические характеристики разомкнутой и замкнутой САУ представлены на рис. 6.

Полученное выражение является базовым для определения свойств и параметров замкнутой САУ. Действительно, если известен суммарный коэффициент усиления замкнутой САУ и ее свойства ОУ, т возможно определение ошибки в замкнутой системе. И наоборот, если задана величина ошибки САУ, возможно определение требуемого суммарного коэффициента передачи с помощью следующего неравенства:

.

Рис. 6. Статические характеристики с САУ с обратной связью.

 

Очевидно, что при воздействии на объект нескольких возмущающих факторов, свойства уменьшения ошибки управления сохраняются. Действительно, если ОУ представляется выражением вида

,

сигнал на выходе объекта определяется как

.

Поскольку , то есть это является ошибкой разомкнутой САУ относительно выбранного возмущающего фактора, то выходная координаты ОУ определяется как

.

Следовательно, суммарная ошибка управления в замкнутой САУ определяется как:

.

Преимущества такого способа управления:

· Большая гибкость и приспособляемость к различным условиям эксплуатации САУ.

· Возможность уменьшения влияния любых внешних возмущений на объект управления.

· Малая чувствительность к изменению параметров регулятора и объекта управления.

Недостатки:

· Невозможность полного устранения влияния возмущающих воздействий на величину вектора выходных состояний объекта управления.

· Возникновение проблем с устойчивостью САУ при попытках увеличения коэффициента усиления системы.

 

2.3. Комбинированный принцип управления.

 

Совместное использование принципов управления по возмущению и отклонению называется принципом комбинированного управления. В использующих такой принцип управления САУ принцип управления по отклонению реализуется с помощью обратной связи, а принцип управления по возмущению — с помощью компенсирующих связей. Структура такой системы представлена на рис. 7.

Рис. 7. Структура САУ, построенной на базе комбинированного принципа управления.

 

При использовании принципа комбинированного управления управляющее воздействие на ОУ определяется как

.

Рассмотрим основные особенности работы такой САУ. Если на ОУ действует несколько возмущений , то уравнение объекта принимает вид:

.

С учетом действия САУ сигнал на выходе объекта управления определяется как:

.

где – коэффициент передачи ИП.

Решая этого уравнение относительно управляемой координаты, получаем

,

где – суммарный коэффициент передачи замкнутого контура управления.

При оптимальной настройке компенсационной связи . Тогда получаем, что

,

где – ошибка разомкнутой САУ относительно выбранного возмущающего воздействия.

При отклонении значения коэффициента компенсационной связи от оптимального на величину получаем, что управляемая координата определяется как:

.

Преимущества такого способа управления:

· Полная компенсация ошибок управления, вызываемых основными возмущающими факторами.

· Уменьшение ошибок управления, вызываемых неизмеряемыми возмущающими факторами.

· Меньшая чувствительность к изменению параметров по сравнению с разомкнутыми САУ.

· Менее жесткие требования на величину коэффициента передачи замкнутой САУ, что снижает проблему обеспечения устойчивости системы.

Недостатки:

· Конструктивная сложность САУ, связанная с наличием большого числа каналов управления.

· Сложность настройки САУ, обусловленная теми же причинами.

 

Вопросы.

 

1. Какие принципы управления вам известны?

2. Какая САУ называется замкнутой?

3. Какие особенности присущи разомкнутым системам автоматического управления?

4. В чем состоит сущность принципа управления по возмущению?

5. Как определить параметры компенсирующей связи?

6. Основные преимущества и недостатки САУ, построенных на базе принципа управления по возмущению?

7. В чем заключается сущность принципа управления по отклонению?

8. Что называется ошибкой разомкнутой САУ?

9. Для каких целей используется обратная связь в САУ? Какие виды обратных связей вам известны?

10. Как определить параметры замкнутой системы по ее характеристикам в разомкнутом состоянии?

11. Что называется суммарным коэффициентом усиления САУ?

12. Какие основные преимущества и недостатки замкнутых систем вам известны?

13. В чем заключаются основные особенности принципа комбинированного управления?

14. Для чего используется контур обратной связи в САУ, построенных на базе принципа комбинированного управления?

15. Какие основные преимущества и недостатки САУ с комбинированным управлением вам известны

Тема 3. Статика систем автоматического управления

 

Различают два основных режима САУ:

· установивший (статический) режим работы, при котором составляющие вектора состояния системы не зависят от времени их измерения;

· динамический режим работы САУ, при котором составляющие вектора состояния системы являются некоторыми функциями времени.

Одним из основных требований, предъявляемых к САУ, является обеспечение необходимой точности работы во всех режимах ее работы. В установившемся режиме работы САУ ее точностные характеристики могут быть определены по статической характеристике системы.

Статической характеристикой элемента (САУ) называется график, изображающий функцию:

,

где – установившееся значение выходной координаты элемента (САУ),

– входная величина.

Статическая характеристика называется аналитической, если функция непрерывна и имеет во всех точках непрерывные производные.

Статическая характеристика называется неаналитической, если ее выходная величина или ее производные имеют разрывы непрерывности.

Рис. 1. Типы статических характеристик САУ

 

На рис. 1 приведены линейная (а), нелинейная (б) и существенно нелинейная (в) статические характеристики САУ.

Статическим (безинерционным) называется элемент, у которого при постоянном входном сигнале устанавливается с течением времени постоянное значение выходной координаты. Линейным статическим элементом называется безинерционный элемент, обладающий линейной статической характеристикой, уравнение которой имеет вид:

,

где – постоянная величина,

К – коэффициент преобразования (тоже постоянная величина).

Астатическим называется элемент, у которого при постоянном входном воздействии сигнал на выходе в установившемся режиме непрерывно растет с постоянной скоростью, ускорением и т. д. Для астатических элементов под уравнением статической характеристики следует понимать зависимость n-ной производной выходной величины от входной. Поскольку номер производной, принимающей постоянное значение различен, то для астатических элементов вводится понятие порядка астатизма. Для таких элементов уравнение статической характеристики принимает вид:

,

где n – порядок астатизма элемента.

Одной из существенных характеристик САУ является зависимость между значением управляемого параметра и величиной внешнего воздействия на ОУ. По виду зависимости между значением управляемого воздействия и внешними возмущениями системы делят на статические и астатические. При установившихся режимах работы ошибка системы определяется как

.

Систему называется статической по отношению к внешнему воздействию, если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому значению, ошибка также стремится к постоянному значению, зависящему от значения управляющего воздействия. Следовательно, статическая САУ не может обеспечить постоянство управляемого параметра при переменной нагрузке.

Система автоматического управления называется астатической, если при постоянном входном воздействии ошибка управления стремится к нулю вне зависимости от величины воздействия. И если понятие статическая система является абсолютным, то понятие астатическая САУ справедлива только по отношению к определенной компоненте вектора выходного состояния системы. Астатические системы автоматического управления имеют различный порядок астатизма в зависимости от числа интегрирующих звеньев в прямой цепи передачи управления.

 

3.1. Определение результирующих передаточных коэффициентов

 

Возможны три способа соединения отдельных элементов САУ. Это последовательное и параллельное соединения, а так же использование обратно связи. Структурные схемы САУ с параллельным и последовательным соединением ее элементов, показаны на рис. 2.

Для параллельного соединения звеньев характерно то, что все соединяемые элементы имеют один и тот же входной сигнал.

Если статические характеристики параллельно соединенных элементов определяются как:

,

То результирующий выходной сигнал определяется как

.

Проводя те же рассуждения для случая параллельного соединения n элементов, получаем, что суммарная статическая характеристика соединения определяется как

Если все параллельно соединенные элементы являются линейными, то результирующая статическая характеристика тоже будет линейной. Пусть

,

В этом случае выходной сигнал соединения элементов определяется как

.

То есть эквивалентный коэффициент передачи рассматриваемой САУ

Параллельное соединение Последовательное соединение

Рис. 1. Параллельное и последовательное соединение элементов САУ

 

В случае параллельного соединения n элементов, получаем, что эквивалентный коэффициент передачи системы, определяется как

В случае параллельного соединения линейных элементов общий коэффициент передачи системы определяется алгебраической суммой коэффициентов передачи отдельных элементов.

Для последовательного соединения звеньев характерно то, что выход каждого элемента соединен со входом последующего.

Если статические характеристики последовательно соединенных элементов определяются как:

, , ,

То результирующий выходной сигнал определяется как

.

Если все параллельно соединенные элементы являются линейными, то результирующая статическая характеристика тоже будет линейной. Пусть

, , ,

В этом случае выходной сигнал соединения элементов определяется как

.

То есть эквивалентный коэффициент передачи рассматриваемой САУ

В случае параллельного соединения n элементов, получаем, что эквивалентный коэффициент передачи определяется как

В случае последовательного соединения линейных элементов общий коэффициент передачи системы определяется произведением коэффициентов передачи отдельных элементов.

Рис. 2. Соединение элементов с использование обратной связи

 

В случае охвата нелинейного элемента нелинейной обратной связью, как показано на рис. 3, сигнал на выходе САУ определяется как

.

где знак — соответствует использованию отрицательной обратной связи, а знак + положительной обратной связи.

Если все параллельно соединенные элементы являются линейными, то результирующая статическая характеристика тоже будет линейной. Пусть

, .

В этом случае выходной сигнал соединения элементов определяется как

,

где знак "+" соответствует использованию отрицательной обратной связи, а знак "-" – положительной. Из этого выражения следует, что введение отрицательной обратной связи приводит к уменьшению коэффициента передачи САУ. То есть аналогично снижению чувствительности системы к изменениям внешний воздействий. Введение положительной обратной связи приводит к увеличению ее коэффициента передачи.

 

3.2. Графические способы построения статических характеристик.

 

Для построения статических характеристик САУ, состоящих из элементов с нелинейными характеристиками, применение аналитических методов затруднено или невозможно. Поэтому для выполнения этой операции используют графические методы. Рассмотрим параллельное соединение двух нелинейных элементов.

Пусть статические характеристики элементов определяются функциями вида:

, .

Результирующая характеристика определяется функцией вида:

.

Графическое представление этих характеристик представлено на рис. 4, где по оси абсцисс откладывается значение входного сигнала Х, а по оси ординат – выходные сигналы элементов и параллельного соединения.

Для построения результирующей характеристики выбираются значения входного сигнала . ордината результирующей характеристики определяется как

.

Соединяя плавной линией множество полученных точек, получаем результирующую характеристику САУ, состоящей из двух параллельно соединенных нелинейных элементов. Нетрудно эту методику расширить на любое число соединенных нелинейных элементов

Рис. 3. Построение статической характеристики параллельного соединения элементов.

 

Рассмотрим методику определения статической характеристики САУ, состоящей из трех последовательно соединенных нелинейных элементов.

Пусть статические характеристики элементов определяются функциями вида:

, , ,.

Результирующая характеристика определяется функцией вида:

.

Графическое представление этих характеристик представлено на рис. 5, где по отдельным осям откладывается значение входного сигнала Х и выходных сигналов каждого элемента. То есть для характеристики каждого элемента выделяется один квадрант координатной плоскости.

Рис. 4. Построение статической характеристики последовательного соединения элементов.

 

Для нахождения точек результирующей характеристики задаемся некоторым значением входного сигнала . Затем строится прямоугольник, одна сторона которого проходит через точку , стороны параллельны координатным осям, а вершины лежат на характеристиках элементов. Четвертая вершина прямоугольника определяет точку искомой статической характеристики. Соединяя плавной линией множество полученных точек, получаем результирующую характеристику САУ, состоящей из трех последовательно соединенных нелинейных элементов. В случае последовательного соединения в третьем квадранте строится биссектриса координатного угла.

Если число последовательно соединенных элементов больше трех, то предварительно строится характеристики групп из трех элементов, а затем к полученным статическим характеристикам применяется описанная методика.

Рассмотрим методику определения статической характеристики САУ, охваченной обратной связью.

Пусть статические характеристики элементов определяются функциями вида:

, .

Результирующая характеристика определяется функцией вида:

.

Графическое представление этих характеристик представлено на рис. 6, где по оси абсцисс откладывается значение входного сигнала Х сигнала ошибки управления () и выходного сигнала канала обратной связи , а по оси ординат – выходной сигнал САУ.

Рис. 5. Построение статической характеристики элемента, охваченного обратной связью.

 

Для построения результирующей характеристики выбираются значения выходного сигнала . абсциссы точек пересечения этой прямой с рассматриваемыми частотными характеристиками дают значения сигнала ошибки – и сигнала на выходе элемента, расположенного в цепи обратной связи- .

.

Соединяя плавной линией множество полученных точек получаем результирующую характеристику САУ, включающую замкнутый контур управления. Если необходимо получить статическую характеристику САУ, содержащую в прямом и обратном канале комбинацию элементов с нелинейными характеристиками, то первоначально определяют статические характеристики прямого канала и обратной связи. Затем, по изложенной выше методике, строят характеристику САУ с обратной связью.

Хорошие результаты при определении результирующих статических характеристик САУ дает использование программных комплексов MathCAD и MathLAB.

 

3.3. Линеаризация статических характеристик САУ

 

Обычно статические характеристики элементов САУ существенно нелинейных, что затрудняет, а иногда делает невозможным, процесс их исследования и проектирования. Для упрощения решения этой задачи производят реализацию статических характеристик.

Линеаризацией называется замена реальных нелинейных уравнений статических характеристик САУ близкими к ним линейными уравнениями. Для линеаризации характеристик САУ используется метод малых отклонений.

Рассмотрим систему, статическая характеристика которой представляется нелинейным уравнением вида:

.

Графическое представление этой характеристики показано на рис. 7. В установившемся режиме работы САУ на входе и выходе рассматриваемого элемента устанавливаются определенные значения соответствующих сигналов, определяемые режимом работы системы. То есть для любого режима работы с САУ справедливо следующее равенство:

.

Рис. 6. Графическая интерпретация линеаризации статических характеристик.

 

Функцию, имеющую n непрерывных производных, можно разложить в ряд Тейлора. Эта операция дает следующий результат:

,

где — n-ая производная искомой функции в точке установившегося режима работы.

При малых отклонениях от положения равновесия величина . Поэтому все слагаемые разложения в ряд Тейлора будут много меньше, чем два первых. То есть можно считать, что

.

Исходя из этого можно считать, что

.

Из этого выражения следует, что

.

Величина равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к кривой статической характеристики в точке . Это показано на рис. 7. То есть

Следовательно, уравнение линеаризованной характеристики можно представить как:

,

где — коэффициент передачи линеаризованного элемента или системы.

Отсюда следует, что при линеаризации нелинейное уравнение заменяется линейным уравнением в приращениях рассматриваемых переменных.

Аналогичный подход используется, если выходной сигнал устройства является функцией нескольких входных переменных. То есть

.

Для линеаризации статических характеристик такого вида определяют частные производные по каждому входному воздействию.

После разложения в ряд Тейлора получаем, что

Пренебрегая всеми производными, кроме первых для каждой входной переменной, получаем, что с достаточной степенью точности выходной сигнал элемента определяется как:

Из этого уравнения следует, что приращение выходного сигнала определяется как

Следовательно, элемент САУ с несколькими входными сигналами может быть представлен как совокупность нескольких линейных элементов и сумматора, объединяющего выходные сигналы этих элементов.

Область применения такого подхода к линеаризации статических характеристик САУ ограничивается наличием непрерывных производных у исходной функции. При наличии разрывов в производных исходной функции, что характерно для элементов с существенно нелинейными характеристиками, такой способ, строго говоря, не применим к точкам, в которых непрерывность производных не обеспечивается.

Для примера рассмотрим линеаризацию статической характеристики вида:

.

Производная этой функции определяется как

.

Следовательно, линеаризованная характеристика рассматриваемого элемента определяется как:

.

Коэффициент передачи линеаризованного элемента определяется как

.

 

Вопросы.

 

1. Что называется статической характеристикой САУ и ее элементов?

2. Какие виды статических характеристик САУ вам известны?

3. Что называется статическим линейным элементов?

4. Какие особенности присущи астатическим элементам?

5. Дайте определение статической САУ?

6. Дайте определение астатической САУ?

7. Чем отличаются статические и астатические системы автоматического управления?

8. Что называется добротностью элемента или системы?

9. Какие способы соединения элементов САУ вам известны?

10. Как определить статическую характеристику САУ, состоящей из последовательно соединенных элементов?

11. Как определить статическую характеристику САУ, состоящей из параллельно соединенных элементов?

12. Какие способы используются для построения статических характеристик САУ?

13. Как графически определяется статическая характеристика замкнутой САУ?

14. Для каких целей используется линеаризация статических характеристик САУ?

15. Опишите основные принципы линеаризации статических характеристик САУ?

16. Как проводится линеаризация многомерных САУ

Тема 4. Динамика линейных систем автоматического управления.

 

Свойства любой системы проявляются в процессе ее функционирования. Для определения этих свойств следует подавать на входы некоторые возмущающие воздействия и анализировать вектор выходного состояния САУ. При отработке различных внешних воздействий реакция системы автоматического управления зависит от ее структуры и параметров.

Рассмотрим возможную реакцию САУ на ступенчатое воздействие, подаваемое на один из ее входов. При этом выходной сигнал может меняться апериодически (рис 1а) или при наличии нескольких затухающих колебаний (рис. 1б). Такой характер изменения выходной координаты системы характерен для устойчивых САУ.

Рис. 1. Возможные переходные процессы для устойчивых САУ.

 

Возможен случай, когда в системе возникают незатухающие колебания. САУ, обладающие таким свойством, называются консервативными. Характер изменения выходной координаты в консервативной САУ представлен на рис. 2.

Рис. 2. Переходной процесс в консервативной САУ

 

Для ряда систем характерно отсутствие постоянного или периодического сигнала на выходе САУ в течение всего периода ее работы. Такие системы называются неустойчивыми. Характер изменения выходного сигнала САУ при выводе ее из положения равновесия показан на рис. 3.

Как рассматриваемая система автоматического управления будет отрабатывать внешние воздействия, каков характер переходного процесса и обеспечивается ли его устойчивость – вот основные вопросы, которые рассматриваются при исследовании динамики систем автоматического управления. Прямой путь решения этой задачи – это проведение натурных экспериментов с реальными системами автоматического управления. Однако проведение таких экспериментов с реальной системой экономически невыгодно, а с проектируемой – невозможно. Поэтому эксперименты для изучения свойств САУ проводят не с реальными системам, а их моделями.

Рис. 3. Характер изменения выходной координаты неустойчивой САУ.

 

Модель – некоторая система, сохраняющая существенные черты оригинала и допускающая ее исследование физическими или математическими методами. Моделирование — это процесс проведения экспериментов на модели вместо прямых экспериментов на самой системе. В настоящее время моделирование наиболее широко применяемый способ научного познания реальной действительности. Очень часто моделирование – это единственное средство познания сложных систем.

Если поставлена задача составления исходных дифференциальных уравнений САУ, то возможны две ситуации. Либо детальная декомпозиция системы на модули и отдельные звенья возможна, либо нет.

Если декомпозиция возможна, то, опираясь на постулаты о сохранении материи и энергии (для соответствующего энергетического домена) и на закон Ома (в соответствующей формулировке), приступают к составлению исходных дифференциальных уравнений САУ, т.е. к созданию истинной модели системы. Истинной будем называть такую модель или такое математическое описание, о которых известно, что они детально соответствуют физической природе системы.

Если декомпозиция на модули и звенья для системы невозможна, то, не имея детальной информации о ее физической природе, можно получить лишь упрощенную модель или упрощенное математическое описание, которые, однако, позволят исследовать систему и получить адекватные результаты. В этом случае совокупность исходных дифференциальных уравнений САУ получают через частотный домен, путем экспериментального снятия частотных характеристик.

Для физической системы порядок системы дифференциальных уравнений ее истинной модели обычно в десять и более раз выше порядка системы дифференциальных уравнений ее ложной модели (например, для моделей операционных усилителей). Тем обусловлена широкая популярность ложных моделей, и типовых звеньев, как структурных элементов для их создания.

Дифференциальное уравнение САУ или уравнение динамики ее движения – это уравнение, определяющее зависимость выходного сигнала от входной переменной . В общем виде оно может быть представлено как:

(1)

где и – некоторые коэффициенты, значения которых в общем случае не являются постоянными.

Решение (1) определяет поведение системы автоматического управления в динамических режимах работы.

Вводя в рассмотрение алгебраический оператор дифференцирования вида

,

получаем запись дифференциального уравнения (1) в операторной форме записи.

.

Полученное алгебраическое уравнение позволяет определить связь между входной и выходной переменной САУ как

.

Связь между выходной и входной переменными можно определить как

.

(2)

Это выражение не является абсолютно строгим, так как используется оператор p, выполняющий операцию дифференцирования.

Составление основных уравнений систем автоматического управления (САУ) может быть облегчено, если рассматривать ее как комбинацию динамических звеньев с определенными передаточными функциями. Изображение САУ в виде совокупности динамических звеньев с указанием взаимосвязи между ними называется структурной схемой системы. Структурная схема может быть составлена на основе известных уравнений системы и, наоборот, дифференциальные уравнения могут быть получены из структурной схемы. При этом первая задача может иметь различные варианты решения, тогда как вторая всегда имеет единственное решение.

В целях формализации процесса составления исходных дифференциальных систем используют такие методы, как "Метод контурных токов", "Метод узловых потенциалов" и их аналоги, имеющиеся во всех энергетических доменах. В результате их применения получается единая система:

(3)

где:

— обобщенные координаты системы, в том числе (для САУ) ошибка — и регулируемая величина — ;

– полиномы от оператора , определяемые свойствами САУ. Они могут быть постоянными или зависящими от условий работы системы;

— внешние координаты — задающие и возмущающие воздействия;

— алгебраизированный оператор дифференцирования.

Совокупность уравнений (1) может быть решена относительно любой обобщенной координаты.

Для удобства и формализации решений систему уравнений (3) могут представить в одной из пяти стандартных форм:

· в форме Коши;

· в пространстве состояний;

· в виде передаточных функций — .

Рассмотрим форму Коши, как способ представления уравнение динамики движения системы. При этом используется матричная форма записи системы дифференциальных уравнений решенных исключительно относительно первой производной координат САУ.

(4)

где:

— с