Обращаясь к уравнению параболы общего вида

 

y = b ₀ + b_i x_i + b_ii x_i ² , (1)

 

напомним следующие факты:

 

1. Если b_ii > 0, то уравнение (1) описывает вогнутую функцию

(ветви параболы направлены вверх), а если b_ii < 0 – выпуклую.

2. Абсцисса вершины параболы (1) равна

x_{i в} = − b_i /2 b_ii.

 

Из этой формулы вытекают остальные свойства.

3. Если имеет место соотношение:

| b_i | > 2| b_ii |, (2)

 

то вершина параболы находится вне диапазона варьирования фактора x_i и, следовательно, уравнение (1) описывает монотонную функцию.

Если при этом b_i > 0, то эта функция монотонно возрастающая, а при b_i < 0 – монотонно убывающая.

4. При наличии соотношения

 

| b_i | < 2| b_ii | (3)

 

функция (1) имеет экстремум внутри диапазона варьирования фактора x_i: максимум при b_ii < 0 или минимум при b_ii > 0.

 

 

4. Пример выполнения РГР 2 и РГР 3

Применение В-плана второго порядка для исследования силовых характеристик процесса пиления древесины цепными моторными пилами

В эксперименте, выполненном в МЛТИ, был использован В-план с полным факторным планом (ПФП) в ортогональной части для исследования влияния пяти основных факторов на силовые характеристики процесса пиления древесины цепными моторными пилами. Матрица этого плана для нормализованных факторов приведена в столбцах табл. 4.

Эксперимент проводился на специальном пильном стенде. Исследуемые факторы, их интервалы и уровни варьирования приведены в табл. 5.

Формулы, связывающие нормализованные и натуральные обозначения (см. формулу (4.1) в [1] или (4.2.6) в [2]), будут в данном случае иметь следующий вид:

 

x ₁ = (D −0,9) / 0,3; x ₂ = (v – 13,5) / 4,6;

x ₃ = (F _н – 90) / 30; x ₄= (l – 20) / 10.

x ₅= (L – 48) / 18;

Таблица 4

№ опыта

х 1

х 2

х 3

х 4

х 5

, Н

№ опыта

х 1

х 2

х 3

х 4

х 5

,Н

+1

+1

+1

+1

+1

−1

+1

−1

+1

−1

+1

+1

+1

+1

−1

−1

+1

−1

−1

+1

+1

+1

+1

−1

+1

−1

+1

−1

−1

−1

+1

+1

+1

−1

−1

−1

−1

+1

+1

+1

+1

+1

−1

+1

+1

−1

−1

+1

+1

−1

+1

+1

−1

+1

−1

−1

−1

+1

−1

+1

+1

+1

−1

−1

+1

−1

−1

+1

−1

−1

+1

+1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

+1

+1

+1

−1

+1

+1

+1

−1

−1

−1

+1

−1

+1

−1

+1

+1

−1

−1

−1

−1

−1

+1

+1

−1

+1

−1

+1

−1

−1

−1

−1

−1

+1

−1

+1

−1

−1

+1

+1

−1

−1

+1

+1

−1

+1

−1

−1

+1

−1

+1

+1

−1

−1

−1

+1

−1

+1

−1

−1

−1

−1

+1

−1

+1

+1

+1

+1

−1

−1

+1

+1

+1

−1

+1

19

−1

+1

+1

−1

+1

−1

−1

+1

+1

−1

−1

+1

−1

+1

−1

+1

+1

−1

 

Таблица 5

Наименование фактора	Обозначение	Интервал варьирования фактора	Уровень варьирования фактора
натуральное	нормализованное	нижний (−)	основной (0)	верхний (+1)
Снижение ограничителя подачи пильной цепи, мм	D	х 1	0,3	0,6	0,9	1,2
Скорость резания, м/с	v	х 2	4,6	8,9	13,5	18,1
Усилие надвигания пильного аппарата на образец, H	F н	х 3
Длина пропила, см	l	х 4
Рабочая длина пильного аппарата	L	х 5

 

Выходная величина эксперимента – усилие пиления F _п, H.

Опыты проводились на древесине березы. Результаты предварительно проведенных экспериментов позволили принять гипотезу о нормальном распределении выходной величины. Проверка проводилась по критерию c² Пирсона. На основе этих данных было рассчитано необходимое число n дублированных опытов, которое оказалось равным пяти.

 

Таблица 6

Обозначение коэффициента регрессии

b 0

b 1

b 2

b 3

b 4

b 5

b 11

b 22

Оценка коэффициента регрессии

219,46

29,98

3,94

52,82

−8,87

21,18

2,9

0,4

Пересчитанная оценка

218,22

29,76

4,15

52,7

−8,55

20,97

−

−

Обозначение коэффициента регрессии

b 33

b 44

b 55

b 12

b 13

b 14

Оценка коэффициента регрессии

−8,6

−23,54

−23,6

0,26

5,51

2,33

Пересчитанная оценка

−

-23,87

-26,84

−

5,63

−

Обозначение коэффициента регрессии

b 15

b 23

b 24

b 25

b 34

b 35

b 45

Оценка коэффициента регрессии

−3,19

1,68

−1,51

2,01

3,53

4,76

8,58

Пересчитанная оценка

−2,97

−

−

−

3,4

4,88

8,24

 

При реализации экспериментального плана в двух случаях пришлось несколько отступить от рекомендованных В-планом уровней варьирования факторов: в опытах № 18 и № 22 значения фактора l составили 26 см вместо 30 (соответственно значения x ₄ в этих опытах фактически равны +0,6 вместо +1). В соответствии с найденным значением n =5 каждый опыт повторялся 5 раз. В седьмом столбце табл. 4 приведены значения усилий пиления, усредненные по пяти дублированным опытам каждой серии:

.

По критерию Кохрена проверялась однородность дисперсий опытов:

 

G _расч = 0,0875 < G _табл = 0,12 для q = 0,05.

 

Это позволило оценить дисперсию воспроизводимости s ² { y } как среднее арифметическое дисперсий опытов

 

;(2.2)

s ² { y } = 16455/42 = 391,8.

 

Связанное с ней число степеней свободы f_y равно

 

f_y = N (n −1) = 42 (5−1) = 168.

 

Из указанных выше отклонений реализованной матрицы от В-плана формулы (6.4) в [2] или (6.5) в [1] для расчета нормализованных коэффициентов регрессии оказались неприменимыми. Этот расчет был произведен на ЭВМ с помощью стандартной программы метода наименьших квадратов. Рассчитанные оценки коэффициентов регрессии приведены во второй строке табл. 6.

Оценки дисперсий и ковариаций коэффициентов регрессии находили с помощью формул (6.6) в [2] или (6.7) в [1], так как погрешности, вносимые отклонениями от В-плана в выражения, определяемые этими формулами, незначительны. Из последнего столбца табл.6.3 [1] или [2] имеем:

Т₁ » 0,158; Т₂»0,0332; Т₃ »0,0294;

Т ₄»0,5; Т₅»−0,0918; Т₆»0,0312.

По формулам (6.7) в [1] или (6.6) в [2] рассчитаны оценки:

 

s ²{ b ₀} = (0,158/5) × 391,8 = 12,4;

s ²{ b_i } = (0,0294/5) × 391,8 = 2,3;

s ²{ b_ii } = (0,408/5) × 391,8 = 32;

s ²{ b_ij } = (0,0312/5) × 391,8 = 2,44;

Cov{ b ₀, b_ii } = − (0,0332/5) × 391,8 = −2,6;

Cov{ b_ii, b_ij } = − (0,0918/5) × 391,8 = −7,18.

 

В соответствии с методикой оценки значимости коэффициентов регрессии определено табличное значение t -критерия Стьюдента для числа степеней свободы f_y = 168. Из таблиц t -критерия (см.табл.1 Приложения в [1] или [2]) для q = 0,05 найдено t _табл = 1,96. Для коэффициента b ₀ имеем

s { b ₀} = = = 3,52; t _табл s { b ₀} = 1,96 × 3,52 = 6,9.

Отсюда видно, что для коэффициента b ₀ соотношение (4.40) в [2] или (5.12) в [1] не выполняется, следовательно, он значим. Аналогичным образом установлена значимость всех линейных коэффициентов регрессии, а также коэффициентов b ₄₄, b ₅₅, b ₁₃, b ₁₅, b ₃₄, b ₃₅, b ₄₅.

Значимые коэффициенты регрессии были пересчитаны на ЭВМ. Для этого в матрицу Х вводились только столбцы, соответствующие значимым коэффициентам. Вновь полученные оценки приведены в третьей строке табл. 6.

Таким образом, получено следующее уравнение регрессии:

 

y = 218,22 + 29,76 х ₁ + 4,15 х ₂ + 52,7 х ₃ − 8,55 х ₄ +

+20,97 х ₅ – 23,87 х ₄² – 26,84 х ₅² + 5,63 х ₁ х ₃ – 2,97 х ₁ х ₅ + 3,4 х ₃ х ₄ + 4,88 х ₃ х ₅ + 8,24 х ₄ х _5. (1)

 

Проверка его адекватности проведена согласно пункту 5.3 [1] или подпункту 4.5.3 [2].

Вычислены значения отклика − по уравнению регрессии (2.4) для каждого опыта. Определена дисперсия адекватности s _ад² по формуле (4.47) [2] или (5.20) [1]: s _ад² = 541,16.

Вычислено расчетное F -отношение:

F _расч = s _ад² / s ² { y }; F _расч = 541,16/391,8 =1,38,

которое сравнено с табличным F -отношением F _табл (см. табл. 2 Приложения в [1] или [2]) для уровня значимости q и чисел степеней свободы f _ад (числитель) и f_у (знаменатель). Имеем f _ад = N – p = 29, f_у = 168. Для q = 0,05 F _табл =1,5. Полученное соотношение F _расч < F _табл позволило принять гипотезу об адекватности регрессионной модели (1).

Приведем некоторые общие выводы, касающиеся анализа и интерпретации квадратичной модели. Для этого лучше всего пользоваться уравнением в нормализованных обозначениях факторов.

Займемся выборочным анализом уравнения. Очевидно, что зависимость y от каждого из факторов х ₁, х ₂, х ₃ является линейной, так как соответствующие квадратичные члены отсутствуют. При этом можно утверждать, что с ростом величины D (снижение ограничителя подачи пильной цепи), соответствующей нормализованному фактору х ₁, отклик возрастает всегда, при любых значениях остальных факторов. Для этого достаточно убедиться, что b ₁ > 0 и b ₁ > . Действительно, имеем b ₁ = 29,76 > 0 и 29,76 > 5,63 +2,97. Аналогично, с ростом скорости резания и усилия надвигания пильного аппарата на образец (нормализованные факторы х ₂ и х ₃ соответственно) усилия резания также всегда возрастают. Зависимости отклика от факторов х ₄ и х ₅ описываются уравнениями парабол, так как b ₄₄ и b ₅₅ отличны от нуля.

Далее можно отметить, например, что наибольшее влияние фактора х ₁ имеет место при х ₃ = +1 и х ₅ = −1. При этом ¶_{1 max} = 29,76 + 5,63 + 2,97 = 38,36. Наибольшее влияние фактора х ₅ проявляется в точке х ₅ = −1; х ₁ = −1; х ₃ = х ₄ = +1. При этих значениях |¶_{5 max} |= | b ₅| + 2| b ₅₅| + | b ₁₅| + | b ₃₅| + | b ₄₅| = 63,9. С другой стороны, парабола, которой описывается зависимость y = f (x ₅), имеет, как будет показано ниже, максимум внутри диапазона варьирования фактора x ₅, а в этой точке величина ¶₅ равна нулю. Наибольшее влияние по показателю ¶ _imax имеет фактор х ₃: при х ₁ = х ₄ = х ₅ = +1 |¶_{3 max} |=66,61.

Рассмотрим семейство графических зависимостей y от х ₅ при различных значениях х ₄ и фиксированных уровнях остальных факторов. При этом появится эффект парного взаимодействия b ₄₅, которое является наиболее значимым (см.1). Значения факторов х ₁, х ₂, х ₃ зафиксировали на уровнях х ₁ = х ₂ = х ₃ = −1, поскольку (как это показано в п. 6.6 [2]) при этих сочетаниях, а также при х ₄ = +1 и х ₅ = −1 достигается минимум усилий резания y. Подставив значения х ₄ = +1 и х ₁ = х ₂ = х ₃ = −1 в (2.4) получим

y = 101,42 + 27,3 х ₅ –26,84 х ₅². (2)

 

Можно построить эту параболу по точкам, но лучше предварительно выяснить ее «поведение» в интересующем исследователя диапазоне −1£ х ₅ £ +1. Для этого уравнения b ₅₅ = −26,84 < 0. Из соотношений (2.6) и (2.7) выполняется последнее. Поэтому данная парабола выпуклая и имеет максимум внутри диапазона варьирования, а именно в точке х _5в = −27,3/2Ч (-26,84) = 0,509. Это означает, что при соответствующем значении натурального фактора – рабочей длины пильного аппарата, имеет место максимум усилий резания. Подставив найденное значение х ₅ = х _5в в уравнение (2), найдем величину этого максимума y _в = 108,36. Для приближенного построения параболы можно воспользоваться еще тремя точками: х ₅ = −1, y = 47,28; х ₅ = 0, y = 101,42; х ₅ = +1, y = 101,88 (кривая 1 на рис.1).

l

Сохранив значения х ₁ = х ₂ = х ₃ = −1, положим теперь в (2.4) х ₄ = −1. Получим зависимость y =125,32 +10,82 х ₅ − 26,84 х ₅². По сравнению с (2) здесь изменился не только свободный член, но и коэффициент b ₅, который вместо 27,3 принял значение, равное 10,82. Последнее произошло «по вине» парного взаимодействия b ₄₅. В результате парабола, описываемая последним уравнением, будет более пологой. Для исследователя это означает, что с уменьшением фактора х ₄, соответствующего длине пропила, влияние рабочей длины пильного аппарата (фактор х ₅) на усилия резания уменьшилось. В то же время значения усилий резания возросли. Это следует из увеличения свободного члена. Наконец, изменилось положение вершины параболы. Ее новые координаты х _5в^¢= −10,82/[2(−26,84)] = 0,202; y _в^¢ = 126,41 (кривая 2 на рис. 1). Аналогично анализируется влияние на отклик остальных факторов.

Отметим, что от графиков, построенных для нормализованных факторов, очень просто перейти к натуральным обозначениям факторов. Для этого достаточно, не изменяя самой кривой, перейти к другому масштабу по оси абсцисс. Фактически вместо указанных на оси абсцисс значений нормализованного фактора –1 и +1 надо написать значения нижнего и верхнего уровней соответствующего натурального фактора (см. рис.1).