Эмпирическое и теоретическое распределения числа вызовов пожарных подразделений в городе в интервале времени продолжительностью 1 сутки

Число k вызовов за время τ=1 сутки	Распределение:
эмпирическое	теоретическое
Частота	Вероятность ωk(τ)	Частота fk	Вероятность Pk(τ)
		0,366667	46,8	0,366667
			44,0	0, 101
			10,4	0, 125
			6,5	0,
>3			12,2	0,
Сумма

 

 

Анализ статистических закономерностей распределения длительности обслуживания вызовов пожарных подразделений в городе

Определим 5 групп (V) со следующими границами интервалов времени [0,30), [30,60), [60,90), [90,120), [120,∞).

Полученные в результате подсчетов значения m_j называются эмпирическими частотами и связаны между собой соотношением.

(16)

 

Эмпирическая вероятность ω_j (относительная частота) того, что τ _обсл попадет в j -й интервал, оценивается как доля, которую в общем числе N вызовов составляют вызовы, попавшие в j -й интервал:

(17)

Для определения теоретической вероятности p _j того, что значение τ _обсл окажется меньше или больше какого-либо значения τ или попадет в j -й интервал используем показательное распределение:

(18)

 

где µ - параметр показательного закона распределения µ=1/τ_{ср.обсл.}.

Средняя длительность времени обслуживания τ_{ср.обсл.} может быть вычислена двумя способами:

1) как среднее арифметическое:

(19)

 

где τ_i – длительность времени обслуживания i-ого вызова,

τ_{ср.обсл.}= мин

2) как среднее арифметическое взвешенное:

(20)

 

где - середина j-ого интервала

τ_{ср.обсл.}=27.61 мин

 

Среднее арифметическое взвешенное является менее точным, чем простое арифметическое, но для его нахождения требуется меньший объем вычислений.

=0.22361

{120≤ }

Далее, для каждого j -ого интервала определяем теоретическую частоту f_j вызовов, длительность времени обслуживания, которых находится в пределах границ j -ого интервала:

 

(21)

 

 

0.22361

Результаты расчетов заносим в таблицу 3.

 

Таблица 3

Эмпирическое и теоретическое распределения длительности времени обслуживания вызовов пожарными подразделениями в городе

Номер интервала j	Границы интервала	Распределение:
эмпирическое	теоретическое
		Частота	Вероятность ωj	Частота fj	Вероятность Pj
				0.495575
				0.35398		0.22361
				0,115044
				0,017699
				0,017699
Всего

Рис.3 Гистограмма эмпирического и теоретического распределений длительности времени обслуживания вызовов пожарными подразделениями в городе

 

Моделирование одновременной занятости пожарных автомобилей при обслуживании вызовов в городе.

Для определения вероятности P_k того, что в произвольный момент времени обслуживанием вызовов в городе будут одновременно заняты k пожарных автомобилей, используем следующие формулы:

(22)

 

где α – приведенная плотность потока вызовов в городе, которая определяется как λ=0,875; τ_{ср.обсл.}=42,1; ω_i – относительная частота привлечения i пожарных автомобилей для обслуживания вызовов

Проведем ряд вычислений (учитывая размерность величин λ и τ):

(23)

0.0181

(24)

(25)

 

(26)

 

Аналогичным образом определяем значения P₃ и P₄

0.03658

Далее определяем суммарную продолжительность времени T_k пребывания в ситуации k за период наблюдения T_набл. =120 суток.

(27)

*24

Частота f_k – среднее число случаев нахождения в ситуации k вычисляется по формуле:

(28)

где λ – число вызовов за период наблюдения, т.е. λ=N

 

Таблица 4

Число пожарных автомобилей, k	Вероятность P(k)	Суммарная продолжительность времени T(k), ч	Частота f(k), случаев/ед. времени
	0,98216		-
		22.08	48.17
	0,00411	11.76	25.91
	0,03658	104.88	23.04
	0,00372	10.8	10.83
всего		2800