Мода и медиана как разновидность средних величин в вариационных рядах

Средние величины, о которых шла речь в данной главе, является своего рода отвлеченной, абстрактной величиной. Отвлекаясь от конкретных величин каждого варианта, эти числа отражают то общее, что присуще всей совокупности единиц. При этом может случиться, что величина средней не имеет равенства ни с одним из конкретных вариантов встречающихся в рассматриваемой совокупности вариантов.

Например, среднее число членов семьи, равное 3,84, полученное на основе исчисления соответствующей совокупности данных, ничего общего с конкретным составом семьи не имеет, поскольку дробного числа членов семьи не может быть. Здесь в данном показателе средней величины состава семьи выражается некоторое центральное значение, около которого группируются реально существующие варианты.

Кроме рассмотренных средних, когда определяется некая абстрактная величина, могут быть использованы величины конкретных вариантов имеющихся в рассматриваемой совокупности величин, величин занимающих определенное место в ранжированном ряду индивидуальных значений признака. Ранжировка признаков может быть построена в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака. Такими величинами, чаще всего являются мода и медиана.

Таблица

Мода - это наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианта. Эту величину означают символом Мо.

Мода как величина в дискретном (прерывистом) ряду определяется следующим образом на примере выявления наибольшего процента мужчин носящих определенный размер обуви. Наглядно это можно представить следующей таблицей.

Распределение числа мужчин по размеру используемой обуви

В распределении мужчин по размеру обуви наибольшая часть мужчин (28%) относится к величине номера обуви в 41. Следовательно, мода Мо = 41, т.е. модой является 41-й размер обуви.

Чтобы определить медиану, необходимо найти один из центральных вариантов рассматриваемой совокупности. В нашем примере центральным вариантом будет находиться в центре совокупности состоящей из 100 членов, т.е. 100: 2 = 50. Затем по накопленным частотам определяем величину 50-го члена ряда. В нашем примере он будет находиться между 41 и 69 накопленной частности (см. 3-ий столбец таблицы № 2), 50-ый член ряда имеет величину 41, т.е. Ме = 41-му размеру обуви.

Вычисление моды (М_о) и медианы (М_е.) различно для дискретных и интервальных рядов.

В дискретных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Для определения медианы вычисляются накопленные частоты, медианным будет тот вариант, накопленная частота которого первой превысит половину всех частот.

Для интервальных вариационных рядов расчет моды и медианы требует применения специальных формул:

где

- нижняя граница модального интервала (модальным называется имеющий наибольшую частоту);

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

частота интервала, следующего за модальным

, где

- нижняя граница медианного интервала (медианным называется интервал, накопленная частота которого первой превышает половину всех частот);

величина медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

частота медианного

интервала.

Определим моду и медиану по следующему ряду распределения:

Определим моду и медиану:

В практике мода и медиана часто используются вместо средней арифметической или наряду с ней. Так, фиксируя средние цены на оптовых рынках, записывают наиболее часто встречающуюся цену каждого продукта, т.е. определяют моду цены. Тем не менее наилучшей характеристикой величины варианта служит средняя арифметическая, которая имеет ряд существенных преимуществ, главное из которых, точное отражение суммы всех значений признака, использующихся для решения соответствующих практических задач

Специальные средние

Средние прогрессивные – используются для расчета прогрессивных нормативов выработки или расхода ресурсов (сырье, материалов и др.)

Средняя прогрессивная представляет собой математическую среднюю арифметическую, рассчитанную по при определении норм расхода и при определении норм выработки _.

Процедура расчета: 1. рассчитывается средне арифметическое для всей совокупности. Определяют и по выделенным значениям снова рассчитывают среднюю арифметическую, она и будет средней прогрессивной.

Задача: рассчитать прогрессивную норму выработки продавца для организации материального стимулирования. Наблюдения за производительностью показала, что выработка за месяц составила:

Выручка, тыс.руб	Количество наблюдений
Итого

, выделим значения

Средняя хронологическая - используется для осреднения значений привязанных к моменту времени:

средний остаток материалов на складе:

1.04.2001 -110 тыс. руб

1,05.2001 -120 тыс руб.

1,06,2001 -100 тыс. руб

1.07.2001 -110 тыс. руб

Средние остатки товарно - материальных ценностей используется при расчете коэффициента оборачиваемости. По правилам средней хронологической рассчитываются: средний срок хранения вклада, средний остаток работающих активов, средний остаток оплаченных ресурсов и кредитов, оплачиваемых в банке.

Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается познавательное значение абсолютных и относительных величин?
2. В чем состоит сущность средней?
3. В чем заключается связь метода группировок и метода средних?
4. Какие виды средних вы знаете?
5. В каких случаях применяется простая (невзвешенная) средняя?
6. Когда необходимо использовать среднюю гармоническую?
7. Можно ли для одних и тех же исходных даны использовать две формулы средней?
8. Что характеризуют мода и медиана?
9. В каких случаях используется средняя хронологическая?