Условные вероятности. Независимость событий.




1.136. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что при­дется производить четвертое извлечение, если выборка производится: а) с возвращением; б) без возвращения.

1.137. Из полной колоды в 52 карты наудачу извлекается одна карта. События: А = {вынутая карта — туз}, В = {вынутая карта черной масти}, F = {вынутая карта яв­ляется фигурой (т. е. валетом, дамой, королем или тузом)}.

а) Установить, зависимы или независимы следующие пары событий: А и В, А и F, F и В; б) вычислить вероятности событий BF, AF и ABF, используя формулу умножения вероятностей.

 

Вероятности сложных событий.

В следующих задачах приведены схемы соединения эле­ментов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независи­мыми в совокупности событиями. Считается известной на­дежность pk k-ro элемента (соответственно qk = 1 — pk вероятность его отказа). Отказ любого из элементов приво­дит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надежность р каждой из схем.

 

 

Формула полной вероятности.

1.175. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсер­ского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета осуществляется в 80 % всего времени полета, условия перегрузки — в 20 %. Вероят­ность выхода прибора из строя за время полета в нормаль­ном режиме равна 0,1, в условиях перегрузки — 0,4. Вы­числить надежность прибора за время полета.

1.182. Три стрелка, вероятности попадания которых при одном выстреле в мишень в неизменных условиях постоян­ны и соответственно равны p1 == 0,8,

р2 = 0,7, р3 = 0,6, делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вычис­лить вероятность события А == {в мишени окажется ровно две пробоины}, приняв в качестве гипотез элементарные исходы данного эксперимента.

1.184. В первой урне находится 6 белых и 4 черных шара, во второй — 3 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу извлекают сразу 3 шара, и шары того цвета, кото­рые окажутся в большинстве, опускают во вторую урну и тщательно перемешивают. После этого из второй урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

1.185. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает a % брака, второй — b %. Для контроля отобрано n1 деталей из первого цеха и n2 из второго. Эти n1 + n2 деталей смешаны в одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?

 

Формула Байеса.

1.194. Однотипные приборы выпускаются тремя заво­дами в количественном отношении п1: п2: n3 , причем ве­роятности брака для этих заводов соответственно равны p1, p2 и p3 . Прибор, приобретенный научно-исследователь­ским институтом, оказался бракованным. Какова вероят­ность того, что данный прибор произведен первым заводом (марка завода на приборе отсутствует)?

1.196. На вход радиолокационного устройства с вероят­ностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,2 — только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,7; если только помеха, — то с вероятностью 0,3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти ве­роятность того, что в его составе есть полезный сигнал.

1.197. Предположим, что надежность определения тубер­кулеза при рентгеновском просвечивании грудной клетки составляет 90 % (т. е. 10 % носителей туберкулеза остаются неопознанными). Вероятность того, что у здорового чело­века будет ошибочно определен туберкулез, составляет 1 %. Просвечиванию была подвергнута большая группа людей со средним процентом больных, равным 0,1 %. Какова вероятность того, что человек, признанный больным, дей­ствительно является носителем туберкулеза?

1.198. Прибор состоит из двух последовательно вклю­ченных узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени T) первого узла равна 0,9, второго — 0,8. За время испытания прибора в течение времени Т зарегист­рирован отказ прибора. Найти вероятности следующих со­бытий: A1 = {отказал только первый узел}, A2 = {отка­зали оба узла}.

1.202. Три стрелка производят по одному выстрелу в од­ну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равны p1, р2 и р3. Какова вероятность того, что второй стре­лок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказа­лось две пробоины?

1.203. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экза­мен по теории вероятностей, имеется 10 отличников, 7 под­готовленных хорошо, 5 — удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 25 вопросов про­граммы, хорошо подготовленные — 20, подготовленные удовлетворительно — 15, и плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти вероятности следующих со­бытий: S1 = {студент подготовлен отлично или хорошо}, S2 = {студент подготовлен удовлетворительно}, S3 = {сту­дент подготовлен плохо}.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-11-23 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: