Проверить выполнение предпосылок МНК

Найдем параметры уравнения линейной регрессии и дадим экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

y _расч = a₀ +a₁*x – уравнение линейной регрессии.

Возьмем данные из таблицы a₀= 12,24, a₁= 0,91.

Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:

y _расч = 12,24 + 0,91*x.

Если объем капиталовложений увеличится на 1 у.е., то объем выпуска продукции в среднем увеличится на 0,91 у.е. Таким образом наблюдается положительная корреляция признаков, что свидетельствует об эффективности работы предприятия и выгодности капиталовложений в их деятельности.

 

2. Вычислим остатки: данные взяли из ранее полученных таблиц.

Возведем остатки в квадрат через функцию «Степень» и найдем их сумму, через формулу

График построили.

Проверить выполнение предпосылок МНК

Математическое ожидание случайной величины, как видно из табл. 2, равно нулю: .

Случайный характер остатков (критерий поворотных точек, критерий пиков):

 

,

 

где n- количество наблюдений;

m – количество поворотных точек (пиков).

Точка считается поворотной, если она больше предшествующей и последующей (или меньше).

 

E₂= -0,692

0,765 >-0,692 > -1,145 - не является поворотной точкой

E₃=-1,145

-0,692> -1,145< 1,307 – является поворотной точкой

E₄= 1,307

-1,145< 1,307> 0,039 – является поворотной точкой

E₅= 0,039

1,31> 0,039> 0,036 – не является поворотной точкой

E₆= 0,036

0,039 >0,036> -0,69 - не является поворотной точкой

E₇=-0,687

0,036 >-0,687 <1,581 - является поворотной точкой

E₈=1,581

-0,687 <1,581 >-2,056 - является поворотной точкой

E₉=-2,056

1,581> -2,056< 0,852 - является поворотной точкой

m=5

m=5>2, => неравенство выполняется, свойство выполняется.

Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях проверим с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Предварительно по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим что сумма разности квадратов равна 37,33, используем найденную нами сумму квадратов остатков – 12,02 и находим:

dw = = = 3,10

Фактическое значение d сравним с табличным значением при 5%-ном уровне значимости. При n= 10 и к= 1 (число факторов) нижнее значение d₁ = 0,88, а верхнее d₂= 1,32. Перед сравнением с табличными значениями dw критерий преобразуем по формуле dw^’= 4- dw= 4-3,10=0,90

Так как 0,88<0,90<1,32 – область неопределенности, когда нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции.

Поскольку ситуация оказалась неопределенной, воспользуемся первым коэффициентом автокорреляции:

r(1) = = = -0,607

Так как фактическое значение коэффициента меньше табличного для 5% уровня значимости – 0,6319, то принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции.

Обнаружение гетероскедастичности. Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Голдфельда-Квандта, выполним следующие шаги:

- разделим упорядоченную по мере возрастания переменной х совокупность на две группы и определим по каждой из групп уравнений регрессии:

Определим остаточную сумму квадратов для первой и второй регрессии, используя данные таблицы:

Так как, < , то гетероскедастичность не имеет место.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S -критерия

где e_max, e_min - соответственно максимальный и минимальный уровни ряда остатков;

S_e - среднеквадратическое отклонение.

Так как расчетное значение попадает между табулированными границами при уровне вероятности α =0,05: нижняя граница – 2,67 и верхняя граница – 3,57, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.

 

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. (a=0,05).

Параметры уравнения: ta₀ = -2,69, ta₁ = 26,70 (фактические значения параметров).

Сравним данные параметры с табличными значениями: t _табл (a; к), где к = n-m-1 = 8, a=0,05.

По условию а₀ и а₁ фактические должны быть больше табличных значений. t_табл = 2,31 => параметр а₀ статистически значим, а а₁ статистически не значим.

 

5. Вычислим коэффициент детерминации.

D=r²

Возьмем значения из таблицы – D=0,98, т.е. 98% вариации объемов продукции объясняется вариацией объемов капиталовложений. 2 % составляют факторы, которые оказывают влияние на величину объемов выпуска продукции (у), но не включены в модель регрессии.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F – критерия Фишера (a=0,05).

F_факт = 455,50, сравним с табличным значением F. F_табл зависит от (а;к₁;к₂), где а – уровень значимости, а=0,05, к₁ – число факторов (m) включенных в нашу модель (к₁ = х=1), к₂ = n-m-1 = 8.

F_табл = 5,32. Сравним: F_табл <F_факт => построенное уравнение регрессии статистически значимо.

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации.

Воспользуемся функцией АВS для расчёта средней ошибки аппроксимации. Воспользуемся функцией «Автосумма» и «Среднее значение» = > Е=3,19% <10% => построенная модель точная.

В среднем расчетные значения у для линейной модели от­личаются от фактических значений на 3,19%

Так как ошибка аппроксимации данной модели меньше 10%, то это свидетельствует о хорошем качестве модели.

6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости a=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.

y _расч = 12,24 + 0,91*x.

Х_прогн=80%*х_сред = 80%*23,5=18,8

y _расч = 12,24 + 0,91* 18,8= 29,35 у.е.

Вывод: таким образом построено уравнение регрессии: y _расч = 12,24 + 0,91*x – данная модель является точной (по параметру средней ошибки аппроксимации, статистически значимой (по F-критерию Фишера), по параметрам а₀ модель статистически значима, а по а₁ - статистически не значима (по критерию t-критерия Стбюдента). Но, в данной модели учтено всего 98% факторов оказывающих влияние на у (по коэффициенту детерминации). Связь между фактором х и результатом у – прямая, высокая (по коэффициенту корреляции).