Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса

Точность интерполяционной квадратурной формулы можно существенно повысить путем рационального выбора узлов . Задача получения более точной квадратурной формулы формулируется следующим образом:

построить квадратурную формулу

, (8)

которая при заданном была бы точной для полиномов возможно большой степени. Обратите внимание, что в формуле (8) для удобства изложения нумерация узлов начинается с . Построение такой формулы заключается в надлежащем выборе коэффициентов и узлов . Такие формулы существуют. Они называются квадратурными формулами наивысшей алгебраической степени точности или квадратурными формулами Гаусса – Кристоффеля или квадратурными формулами Гаусса. Эти формулы точны для любого алгебраического многочлена степени .

Таким образом, для любых существует, причем единственная, квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности вида(8).Узлы этой формулы совпадают с корнями ортогонального на с весом полинома степени , а коэффициенты определяются формулой:

Узлы и соответствующие им веса квадратурной формулы Гаусса рассчитываются заранее для различных весовых функций и сводятся в таблицу. Приведем пример квадратурной формулы Гаусса.

К вадратурная формула Гаусса-Лежандра

Квадратурная формула Гаусса-Лежандра используется для вычисления
интеграла с единичной весовой функцией =1 на конечном отрезке , т.е. интеграл вида

Этот интеграл линейной заменой переменных

приводится к виду

На отрезке ортогональны с весом =1 полиномы Лежандра

Узлы квадратурной формулы в этом случае выбираются равными корням полинома Лежандра . Квадратурная формула имеет вид

В таблице в качестве примера приведены узлы и коэффициенты для этой формулы при использовании двух, трех и четырех узлов.

Таблица – Узлы и коэффициенты квадратурной формулы Гаусса-Лежандра

Число узлов	Значение улов	Значение весовых коэффициентов
	0,577350
	0 0,774597
	0,339981 0,861136	0,652145 0,347855

Рассмотрим данные методы на примере.

Вычислим . Этот интеграл сводится к табличному и он равен , его значение:

Разобьем отрезок интегрирования [0,1] на 5 равных частей (5 частичных отрезков). Количество узлов – 6.В нашем случае a = 0, b = 1. Вычислим h.

h = 0, 2.

Интегрируемая функция

Вычислим значения функции в узлах: 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.

Для оценки погрешности вычислим производные 1, 2 и 4 – го порядка:

Максимальное по абсолютной величине значение на отрезке [0,1] производные достигают в точке x = 0.Соответственно, .

Вычислим интеграл методом левых прямоугольников.

За узлы интегрирования возьмем точки: 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8. h = 0,2.

Погрешность интегрирования оценивается выражением:

Вычислим интеграл методом правых прямоугольников.

За узлы интегрирования возьмем точки: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1. h = 0,2.

Вычислим интеграл методом трапеций.

За узлы интегрирования возьмем точки: 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1. h = 0,2.

Погрешность метода оценивается выражением:

Разобьем отрезок интегрирования [0,1] на 10равных частей (n = 10), вычислим интеграл методом трапеций при h1 = 0, 1 и оценим полученный результат по правилу Рунге.

Погрешность вычисления интеграла оценивается выражением:

Вычислим интеграл по квадратурной формуле интерполяционного типа.

Возьмем 3 узла: 0; 0,5; 1.Функция f(x) на отрезке [0, 1] заменяется параболой (n = 2). Квадратурная формула интерполяционного типа, построенная на узлах 0; 0,5; 1 совпадает с формулой Симпсона.h = 0,5.