Второй учебный вопрос (60 мин)

I. Цели и задачи занятия

1. Выработать навыки исследования непрерывность функций к вычислению пределов и уметь классифицировать точки разрыва.

2. Показать обучающимся важность данной темы в курсе изучаемой дисциплины.

3. Воспитывать у обучающихся настойчивость в достижении поставленной цели.

II. Расчет учебного времени

III. Учебно-материальное обеспечение

Классная доска, раздаточный материал.

IV. Методические материалы

К проведению практического занятия

Во вводной части занятия (5 мин.) после объявления темы и целей практического занятия целесообразно изложить последовательность обсуждения учебных вопросов.

Первый учебный вопрос (20 мин).

Непрерывность функции.

При изложении первого учебного вопроса следует напомнить курсантам понятие непрерывной функции в точке, точек разрыва, их классификацию.

Определение 1: Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

.

Данное равенство означает выполнение трех условий:

1) функция определена в точке и в ее окрестности;

2) функция имеет предел при ;

3) предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство .

Определение 2: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и ее окрестности и выполняется неравенство , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале в точке непрерывна справа (т.е. ), а в точке непрерывна слева (т.е. ).

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если – точка разрыва функции , то в ней выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в окрестности точки , но определена в самой точке .

2. Функция определена в точке и ее окрестности, но не существует предела при .

3. Функция определена в точке и ее окрестности, существует , но этот предел не равен значению функции в точке : .

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и . При этом:

а) если , то точка называется точкой устранимого разрыва;

б) если , то точка называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Основные теоремы о непрерывных функциях:

1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

2. Пусть функции непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .

3. Если функция непрерывна и строго монотонна на оси Ox, то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке оси Oy.

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Второй учебный вопрос (60 мин)