Линейная функция и ее график
Линейной функцией называется функция вида 
В уравнении функции число 
, которое мы умножаем на 
называется коэффициентом наклона.
Например, в уравнении функции 
;
в уравнении функции 
;
в уравнении функции 
;
в уравнении функции 
.
Графиком линейной функции является прямая линия.
1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции 
, удобно взять 
и 
, тогда ординаты эти точек будут равны 
и 
.
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции :
2. В уравнении функции коэффициент 
отвечает за наклон графика функции:
· если 
, то график наклонен вправо
· если 
, то график наклонен влево
Коэффициент 
отвечает за сдвиг графика вдоль оси 
:
· если 
, то график функции получается из графика функции 
сдвигом на единиц вверх вдоль оси
· если 
, то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вниз вдоль оси
На рисунке ниже изображены графики функций 
; 
; 
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.
Во всех функциях 
- и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций ; 
; 
На этот раз во всех функциях коэффициент меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.
Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций ; 
; 
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции (b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .
Если k<0 и b>0, то график функции имеет вид:
Если k>0 и b>0, то график функции имеет вид:
Если k>0 и b<0, то график функции имеет вид:
Если k<0 и b<0, то график функции имеет вид:
Если k=0, то функция превращается в функцию 
и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции равны
Если b=0, то график функции проходит через начало координат:
Это график прямой пропорциональности.
3. Отдельно отмечу график уравнения 
. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельную оси все точки которой имеют абсциссу .
Например, график уравнения выглядит так:
Внимание! Уравнение не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.
Точки пересечения графика функциис осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда 
. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (
;0):
