Молекулярная физика и термодинамика

Механика

 

Пример 1.1. (С1) Мяч, брошенный под углом α к горизонту с расстояния S от забора, перелетел через него, коснувшись его в самой верхней точке траектории. Какова высота забора над уровнем, с которого брошен мяч?

Пример 1.2. (С6) Протон влетает в

электрическое поле конденсатора в точке, находящейся посередине между его пластинами (см. рисунок). Минимальная скорость, с которой протон должен влететь в конденсатор, чтобы затем вылететь из него, равна v₀. Длина пластин конденсатора L, напряженность электрического поля конденсатора E. Чему равно расстояние между пластинами конденсатора? Поле внутри конденсатора считать однородным, силой тяжести пренебречь.

 

Различие в заданных ситуациях составляет только значение ускорения, которое в первом случае равно а = g = 9,8 м/с², а во втором – рассчитывается по формуле (или , если задана не напряженность поля конденсатора, а напряжение между его пластинами). Кинематическая схема решения таких задач одна и та же:

- выбор системы координат (горизонтальное и вертикальное направления осей);

- проецирование всех векторных величин на координатные оси;

- запись кинематических уравнений движения вдоль горизонтального и вертикального направлений: x = v₀t; y = .

Пример 1.3 (С1). Брусок массой m₁ соскальзывает по наклонной плоскости высотой h и сталкивается с неподвижным бруском массой m₂,, лежащим на горизонтальной поверхности. Считать столкновение абсолютно упругим. Трением при движении пренебречь.

В качестве искомых величин в задачах такого содержания выступали значения:

- скоростей тел после взаимодействия;

- энергии каждого из тел или всей системы до или после взаимодействия;

- изменение их энергии после взаимодействия.

Пример 1.4 (С1). Брусок массой m₁ соскальзывает по наклонной плоскости с высоты h и сталкивается на горизонтальном участке с бруском массой m₂,, движущимся ему навстречу со скоростью v₂. Считая столкновение абсолютно неупругим, определите изменение кинетической энергии первого бруска в результате столкновения. Трением при движении пренебречь. Считать, что наклонная плоскость плавно переходит в горизонтальную.

Основу решения задач, содержание условия которых рассмотрено в примере 1.3, составляют законы сохранения энергии и импульса в применении к упругому взаимодействию тел:

m₁v = m₁v₁ + m₂v₂ или m₁v = m₁v₁ + m₂v₂,

= +

m₁gh = .

Особенностью решения задач, содержание которых рассмотрено в примере 1.4 составляет понимание того, что механическая энергия при неупругом взаимодействии не сохраняется. Скорость брусков после столкновения определяется, как и в Примере 1.3, с помощью закона сохранения импульса m₁v₁ - m₂v₂ =(m₁ +m₂)v, где v₁ - скорость первого бруска до столкновения, v₂ - скорость второго бруска, движущегося навстречу первому, a v - скорость системы после удара.

Аналогично применяется закон сохранения энергии для разных состояний первого бруска: = m₁gh.

Ошибкой большинства участников экзамена, приступивших к решению этой задачи, является то, что они применяли закон сохранения энергии для случая упругого взаимодействия к случаю неупругого взаимодействия, не учитывая потерю механической энергии ΔE.

 

 

Пример 1.5 (С1). Снаряд массой 4 кг, движущийся со скоростью 400 м/с, разрывается на две равные части, одна из которых продолжает движение по направлению движения снаряда, а другая - в противоположную сторону. В момент разрыва суммарная кинетическая энергия осколков увеличивается за счет энергии взрыва на 0,5 МДж. Найдите скорость осколка, движущегося вперед по направлению движения снаряда.

При решении такого рода задач необходимо было применить законы сохранения импульса и энергии:

Закон сохранения импульса: 2mv₀ = mv₁ - mv₂.

Закон сохранения энергии: 2m + ΔE = + .

Проверка работ показала, что если такие уравнения участниками экзамена и были записаны, то трудностью для них стала математическая часть решения. К сожалению, не все смогли выразить v₂ из первого уравнения: v₂ = v₁ - 2v₀ и подставить во второе уравнение: v₁² - 2v₀v₁ + v₀²- = 0, а затем решить его относительно искомой величины, выбрав из двух корней уравнения (v₁)_]2 = v₀ ± больший: v₁ = v₀ + , что соответствует условию задачи: v₁ > v₀.

Знание законов сохранения энергии и импульса являлось основой для записи исходных уравнений при решении следующей группы задач, в которых речь шла о взаимодействии элементарных частиц при ядерных реакциях (пример 1.6).

Пример 1.6 (С.5). При реакции синтеза ₁²Н + ₂³Не → ₂⁴Не + p образуется гелий и протон и выделяется 18,3 МэВ энергии. Какую кинетическую энергию уносит протон, если суммарный импульс исходных частиц равен нулю, а их кинетическая энергия пренебрежимо мала по сравнению с выделившейся?

В реакции синтеза выделившаяся энергия проявляется как кинетическая энергия продуктов реакции: Е = + = + . Здесь m₁ - масса гелия, a m₂ - масса протона, р₁ = m₁v₁, р₂ = m₂v₂ – импульсы продуктов реакции (ядра гелия и протона), а Е₁= и Е₂= - кинетическая энергия продуктов реакции, соответственно.

Закон сохранения импульса системы р₁ + р₂ = 0 позволяет получить связь между кинетической энергией продуктов реакции и их массой: . Из закона сохранения энергии Е₁ + Е₂ = Е и полученного соотношения между массой и энергией продуктов реакции m₁Е₁ = m₂Е₂ определяется энергия протона: Е₂ = Е = Е.

 

 

Молекулярная физика и термодинамика

Пример 2.1. (С2). В водонепроницаемый мешок, лежащий на дне моря на глубине 73,1 м, закачивается сверху воздух. Вода вытесняется из мешка через нижнее отверстие, и когда объем воздуха в мешке достигает 28,0 м, мешок всплывает вместе с прикрепленным к нему грузом. Масса оболочки мешка 2710 кг. Определите массу груза. Температура воды равна 7°С, атмосферное давление на уровне моря равно 10 Па. Объемом груза и стенок мешка пренебречь.

В основе решения этой задачи условие, при котором мешок с грузом начнет всплывать: ρVg = Mg + m_rg + m_вg, где М и m_r — масса оболочки мешка и масса груза, V и m_в — объем и масса воздуха в мешке, ρ — плотность воды. Следовательно, m_r = ρV - М - m_в.

Так как мешок заполнен воздухом, то к его состоянию применимо уравнение Менделеева-Клапейрона: pV = RT, где давление воздуха на заданной глубине h можно выразить формулой р = р₀+ ρgh, где р₀ — атмосферное давление.

 

Пример 2.2. (С2). Bo время опыта объем сосуда с воздухом увеличился в 1,5 раза, и воздух перешел из состояния 1 в состояние 2 (см. рисунок). Кран у сосуда был закрыт неплотно, и сквозь него мог просачиваться воздух. Рассчитайте отношение числа молекул газа в сосуде в конце и в начале опыта. Воздух считать идеальным газом.

Основу решения задач этого типа составило уравнение состояния идеального газа в виде р = nkT, где n = - концентрации молекул газа. Отсюда легко получить ответ в общем виде и числовой ответ.

 

.

Пример 2.3. С(2). Сосуд разделен пористой перегородкой на две равные части. В начальный момент в одной части сосуда находится 2 моль гелия, а в другой - такое же количество аргона. Атомы гелия могут диффундировать (проникать) через перегородку, а для атомов аргона перегородка непроницаема. Температура гелия равна температуре аргона Т = 300 К. Определите отношение давлений газов на перегородку с разных сторон после установления термодинамического равновесия.

В решении такого рода задач необходимо было рассмотреть состояние системы после установления термодинамического равновесия: в каждой части сосуда окажется по 1 молю гелия. В результате в сосуде с аргоном окажется 3 моля смеси, а с другой стороны перегородки останется 1 моль гелия. Запись уравнения Клапейрона-Менделеева для каждой части сосуда позволит определить давление гелия и смеси: P_HeV=RT и P_He+ArV = 3RT, где 2V – объем сосуда. Решение этих уравнений и приведет к ответу на заданный в задаче вопрос.

 

Пример 2.4. С(2). Цилиндрический сосуд, расположенный горизонтально, разделен тонким поршнем на две равные части. В одной части сосуда находится 1 кг гелия, а в другой - 1 кг аргона. В начальном состоянии поршень удерживается внешними силами. Поршень отпустили, и через некоторое время система пришла в состояние равновесия с окружающей средой, температура которой Т = 300 К. Какую часть цилиндра занимает гелий после установления равновесия? Трением поршня о стенки сосуда пренебречь.

Задача предполагает рассмотрение системы после установления механического и теплового равновесия: давление гелия и аргона на поршень должно быть одинаковым, и температура газов также одинакова р_Нe= р_Ar, = р, Т_Не = Т_Ar = Т.

Применение уравнения Клапейрона-Менделеева pV_He = ν_HeRT, pV_Ar = ν_ArRT, где ν_Ar=m_Ar/M_Ar, ν_Ar, - число молей аргона, a ν_He=m_He/M_He - число молей гелия, позволяет получить отношение объемов (учитывая равенство масс газов m_Нe = m_Aг = m): = . Но объем сосуда после установления равновесия не изменился V_He + V_Ar=V, поэтому легко найти искомое отношение = .

Решение следующего цикла задач было основано на понимании школьниками двух тем, вызывающих затруднения уже на уровне обязательного минимума содержания образования – «Первый закон термодинамики» и «Закон сохранения импульса» для случая неупругого соударения, рассмотренных нами выше. Результатом отсутствия понимания смысла этих законов на базовом уровне явилось причиной того, что ни один из участников экзамена не справился с такого рода задачами (пример 2.5).

Пример 2.5. С(6.) В вакууме закреплен горизонтальный цилиндр. В цилиндре находится 1 л гелия, запертого поршнем, при давлении 100 кПа и температуре 300 К. Поршень массой 90 г удерживается упорами и может скользить влево вдоль стенок цилиндра без трения. В поршень попадает пуля массы 10 г, летящая горизонтально, и застревает в нем. Температура гелия в момент остановки поршня в крайнем левом положении возрастает на 90 К. Какова скорость пули? Считать, что за время движения поршня газ не успевает обменяться теплотой с цилиндром и поршнем.

Решение задачи основано на законе сохранения импульса при неупругом соударении: mv₀ = (m + M)v_n. Отсюда: v_n= , где m и М - соответственно масса пули и масса поршня, v₀ - скорость пули, v_n - скорость поршня после попадания пули.

Формула для расчета внутренней энергии одноатомного идеального газа U = RT, и учет того, что механическая энергия поршня с пулей превращается во внутреннюю энергию гелия, дает возможность рассчитать ΔU: ΔU = RΔT = . Из уравнения Менделеева – Клапейрона следует, что νR = . Решение системы уравнении дает: v₀ = .

 

Электродинамика

 

Пример 3.1. (С3). Чему равен электрический заряд на обкладках конденсатора электроемкостью С = 1000 мкФ (см. рисунок), если внутреннее сопротивление источника тока r =10 Ом, ЭДС его 30 В, а сопротивления резисторов R₁ = 40 Ом и R₂ = 20 Ом?

Особенностью схемы в рассматриваемом нами примере является включение в нее конденсатора, который не пропускает ток по сопротивлению R₁. При решении задачи необходимо было учесть, что значения напряжения на конденсаторе и параллельно подсоединенном резисторе одинаковы и равны U = IR₂, U = Ed, где Е — напряженность поля в конденсаторе. Отсюда d = . Согласно закону Ома, I = . Следовательно, d = .

 

Пример 3.2. (С3). До замыкания ключа К на схеме (см. рисунок) идеальный вольтметр V показывал напряжение 7 В. Внутреннее сопротивление источника 0,75 Ом. Что показывает идеальный амперметр А после замыкания ключа? Сопротивления резисторов указаны на рисунке.

 

 

Решение задачи предполагает расчет сопротивления внешней цепи, подсоединенной к ЭДС, R= 2,24 Oм. (1)

По условию задачи до замыкания ключа вольтметр показывает значение ЭДС ε = 7 В. (2)

После замыкания ключа ЭДС рассчитывается по закону Ома для полной цепи ε = I(r + R), (3)

где r - внутреннее сопротивление источника. Так как при параллельном соединении ток распределяется обратно пропорционально сопротивлениям ( = 2 => I₂ = 0,5 I₁ и т.д.), то

I = I₁ + 0,5I₁+ 0,25I₁ = 1,75I₁ (4). Подставляя (1) (2) (4) в (3), находим

I₁ = = 1,3 А.

Пример 3.3. (С3) В закрытом сосуде вместимостью 20 л находится воздух при нормальных условиях. Воздух начали греть электрическим нагревателем, и через 10 мин давление в сосуде повысилось до 4·10⁵ Па. Какова сила тока в нагревателе, если известно, что КПД нагревателя 13 %, и он работает при напряжении 100 В? Удельная теплоемкость воздуха в данных условиях равна 716 Дж/(кг·К), а его плотность при нормальных условиях равна 1,29 кг/м³.

Начало решения составляет формула для расчета КПД нагревателя:

η = , где Q₁ = сm(Т₂-Т₁); Q₂ = IUt.

Применение закона Шарля позволяет рассчитать температуру Т₂ = . Следовательно, η = . С учетом того, что m = ρV, рассчитывается значение искомой величины: I = .

Пример 3.4. (С3)

По прямому горизонтальному проводнику длины L = 1 м с площадью поперечного сечения S = 1,25·10^{-5 м2}, подвешенному с помощью двух одинаковых невесомых пружинок с коэффициентами упругости k, течет электрический ток I = 10 А. При включении вертикального магнитного поля с индукцией В = 0,1 Тл проводник отклоняется так, что оси пружинок составляют с вертикалью угол а (см. рисунок). Абсолютное удлинение каждой из пружинок при этом составляет Δl= 7·10^{-3 м. Каков коэффициент упругости каждой из пружинок? (Плотность материала проводника}

ρ = 8·10³ кг/м³.)

Запись условия механического равновесия проводника в проекции на ось Х и У приводит к системе уравнений:

2k Δ l cos α = mg,

2k Δ l sin α = IBL.

Возведение обоих равенств в квадрат и их сложение дает возможность рассчитать искомую величину: (2k Δ l)² = (mg)² + (IBL)², отсюда k = . С учетом того, что масса провода m = ρ LS, результат имеет вид k = .

Закон электромагнитной индукции являлся стержневым в четырёх группах заданий: пятой, шестой, седьмой и восьмой (примеры 3.5; 3.6; 3.7 и

Пример 3.5. (С4). Металлическое кольцо, диаметр которого 20 см, а диаметр провода кольца 2 мм, расположено в магнитном поле, магнитная индукция которого меняется по модулю со скоростью 1,09 Тл/с. Плоскость кольца перпендикулярна вектору магнитной индукции. Возникающий в кольце индукционный ток 10 А. Определите удельное сопротивление металла, из которого изготовлено кольцо.

ЭДС индукции в кольце ε = - . Изменение магнитного потока за время Δt равно ΔФ = Δ(BS), где S (площадь кольца) постоянна и равна S = . Следовательно, |ε| = S . По закону Ома для участка цепи ε = IR = I , где S_np - площадь сечения медного провода кольца S_np = , длина кольца l = πD. Сочетание всех этих формул позволяет найти искомую величину, а расчет позволяет определить материал проводника:

ρ = ≈1,7·10^-8 Oм·м.

Сравнение полученного значения удельного сопротивления с табличным значением этой величины позволяет выявить материал проводника: медь.

 

Пример 3.6. (С4). Плоская горизонтальная фигура площадью S = 0,1 м², ограниченная проводящим контуром, имеющим сопротивление R = 5 Ом, находится в однородном магнитном поле. Какой заряд протечет по контуру за большой промежуток времени, пока проекция магнитной индукции на вертикаль равномерно меняется с B_1z = 2 Тл до B_2z = - 2 Тл?

Для решения этой задачи достаточно было использовать закон электромагнитной индукции для случая однородного поля по закону электромагнитной индукции . С другой стороны, |ε_i | = IR. Поэтому |Δq| = IΔt = |В_2z – B_1z|.

В отличие от примера 3.6, где условие задачи несколько упрощено тем, что плоская фигура не вращалась, в примере 3.7 (седьмая группа задач) катушка вращается. Поэтому поток магнитной индукции в этом случае изменяется благодаря изменению угла поворота катушки (угла между нормалью к плоскости катушки и линиями магнитной индукции).

Пример 3.7. (С4) Плоская катушка диаметром 6 см, состоящая из 120 витков, находится в однородном магнитном поле. Катушка поворачивается вокруг оси, перпендикулярной линиям магнитной индукции, на угол 180° за 0,2 с. Плоскость катушки до и после поворота перпендикулярна линиям магнитной индукции. Чему равна индукция магнитного поля, если среднее значение ЭДС индукции, возникающей в катушке, 0,2 В?

Подобно предыдущим типам задач, решение данной задачи предполагает знание закона электромагнитной индукции. ЭДС индукции в катушке: ε = -n . Изменение магнитного потока за время Δt равно ΔФ = Ф₂ – Ф₁= BS(cos α₂ – cos α₁), где S= , cos α₂ = -1, cos α₁ = +1.

Следовательно, ΔФ = - . ε =- n . B = .

 

Пример 3.8. (С6) Квадратную рамку из медной проволоки со стороной b = 5 см и сопротивлением R = 0,1 Ом перемещают вдоль оси Ох по гладкой го ризонтальной поверхности с постоянной скоростью V = 1 м/с. Начальное положение рамки изображено на рисунке. За время движения рамка успевает пройти между полюсами магнита и оказаться в области, где магнитное поле отсутствует. Индукционные токи, возникающие в рамке, оказывают тормозящее действие, поэтому для поддержания постоянной скорости движения к ней прикладывают внешнюю силу F, направленную вдоль оси Ох. Чему равна суммарная работа внешней силы за время движения рамки? Ширина полюсов магнита d = 20 см, магнитное поле имеет резкую границу, однородно между полюсами, а его индукция В = 1 Тл.

При решении такого рода задач необходимо было учесть, что при пересечении рамкой границы области поля со скоростью V изменяющийся магнитный поток создает ЭДС индукции ε_инд =- = VBb. Сила тока в это время равна I= . Однако при движении рамки под действием внешней силы в ней возникает тормозящая сила Ампера F_A = IBb = V . Так как рамка по условию задачи движется прямолинейно и равномерно, то сила Ампера равна по модулю внешней силе: F_A = F. Ток течет в рамке только во время изменения магнитного потока, т.е. при входе в пространство между полюсами и при выходе. За это время рамка перемещается на расстояние х = 2b, а приложенная внешняя сила совершает работу А = F·х = 2Fb. Подставляя значение силы, получаем конечный результат решения в общем виде: А = 2V .