Программа коллоквиума по курсу
Высшей алгебры и теории чисел
Поток – прикладная математика, 1 курс,
Октябрь, 2012
I. Алгебраические структуры
1. Операция на множестве, определение группы, примеры неабелевых групп. Простейшие свойства группы (единственность нейтрального и обратного элемента)
2. Определение кольца, типы колец, примеры
3. Определение поля, эквивалентность определений, примеры полей (обязательно поля квадратных матриц особого вида и конечного поля)
4. Векторное пространство, примеры. Модуль над коммутативным кольцом. Алгебра надо полем, примеры.
5. Алгебраические подструктуры, критерии подструктур.
6. «Равенство» (изоморфизм) алгебраических структур, пример изоморфизма группы вещественных чисел по сложению с положительными вещественными числами по умножению и пример «антиизоморфизма» в аналогичном случае поля рациональных чисел.
7. Изоморфизм – отношение эквивалентности.
8. Гомоморфизм алгебраических структур, типы гомоморфизмов, примеры
II. Построение числовых полей и кольца многочленов
1. Фактор-множество по отношению эквивалентности. Построение поля рациональных чисел, поле отношений области целостности.
2. Фактор-множество по отношению эквивалентности, построение кольца вычетов.
3. План построения поля вещественных чисел по Коши.
Многочлены над полем вещественных чисел как вещественные функции.
4. Построение кольца многочленов над произвольным полем, с доказательством теоремы об области целостности.
5.Построение поля комплексных чисел (метод квадратных матриц, и метод фактор-кольца по отношению эквивалентности с многочленом
X^2 + 1.
6.Построение поля комплексных чисел методом упорядоченных пар вещественных чисел.
7.Изоморфизм «различных» полей комплексных чисел
III. Поле комплексных чисел
1. Определение поля комплексных чисел, существование и единственность.
2. Алгебраическая форма комплексного числа, сопряжение, свойства
3. Геометрическое изображение комплексных чисел, тригонометрическая форма комплексного числа, равенство комплексных чисел записанных в тригонометрическом виде.
4. Модуль комплексного числа, свойства
5. Формула Муавра, примеры применения
6. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
7. Корни n-ой степени из 1, свойства
8. Уравнение третьей степени, приведение уравнения к простейшему виду, теорема о существовании корня.
9. Формула Тарталья-Кардано
10. Исследование уравнения третьей степени с вещественными коэффициентами.
11. Метод Феррари решения уравнения 4-ой степени.
IV. Теория делимости в евклидовых кольцах
1. Определение делимости в области целостности, свойства. Обратимые элементы в области целостности, алгебраическая структура
2. Ассоциированные элементы, критерий, отношение эквивалентности.
3. Определение евклидова кольца, доказательство евклидовости кольца целых рациональных чисел.
4. Определение евклидова кольца, доказательство евклидовости кольца многочленов над полем, теорема Безу.
5. Определение евклидова кольца, доказательство евклидовости кольца целых Гауссовых чисел.
6. Н.О.Д. элементов в евклидовом кольце, теорема о существовании и единственности Н.О.Д.
7. Существование и отсутствие Н.О.Д. в кольце многочленов без линейных членов.
8. Взаимно-простые элементы евклидова кольца, критерий и свойства.
9. Простые элементы евклидова кольца, свойства.
10.Основная теорема теории делимости в евклидовых кольцах.
11. Определение факториального кольца, критерий, примеры не факториального кольца, в которых есть разложение не простые.
12. Определение идеала в коммутативном кольце, главные идеалы, евклидово кольцо – кольцо главных идеалов.
13. Определение простого идеала, критерий
14. Определение максимального идеала, критерий.
15. Пример простого, но не максимального идеала
16. Реализация основной теоремы теории делимости в кольце целых рациональных чисел и в кольце многочленов над полем
17. Основная теорема алгебры, множество неприводимых многочленов в поле комплексных чисел, множество неприводимых элементов в поле вещественных чисел.
V. Теория чисел в кольце целых рациональных чисел
1. Определение сравнения, основные свойства.
2. Системы классов вычетов, свойства
3. Функция Эйлера, вычисление
4. Теорема Ферма, доказательство методом индукции и бинома Ньютона
5. Теорема Ферма и теорема Эйлера, доказательство с помощью теоремы Лагранжа для коммутативных групп
6. Решение сравнений первой степени.
7. Китайская теорема об остатках
8. Лемма Hensel’я
9. Теорема об уменьшении степени сравнения по простому модулю и теорема о числе решений сравнения по простому модулю.
10. Приведение сравнения второй степени к двучленному виду.
11. Теорема Вильсона со следствием
12. Определение символа Лежандра, критерий Эйлера
13. Определение символа Лежандра, свойства. Формулировка квадратичного закона взаимности.