Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.




Возрастание, убывание функций. Экстремум.

Точка , принадлежащая области определения функции , называется критической точкой функции, если в этой точке или не существует. Критические точки функции разбивают её область определения на интервалы монотонности (интервалы возрастания и убывания).

Необходимое условие экстремума. Если - точка экстремума функции , то или не существует.

Первое достаточное условие экстремума. Пустьфункция дифференцируема в окрестности точки , в которой или не существует. Тогда, если производная , при переходе слева направо через точку : 1) меняет знак с «+» на « », то - точка максимума; 2) меняет знак с знак с « » на «+», то - точка минимума; 3) сохраняет знак, то не является точкой экстремума. Второе достаточное условие экстремума. Пустьфункция дважды дифференцируема в точке , в которой , . Тогда: 1) если , то - точка максимума; 2) если , то - точка минимума.

В задачах 5.221-5.234 для указанных функций найти интервалы возрастания и убывания:

5.221 5.222 5.223 . 5.224

5.225 5.226 . 5.227 . 5.229

5.230 . 5.232 . 5.234

В задачах 5.235-5.246 для указанных функций найти экстремумы:

5.235 5.236 5.237 5.238 .

5.239 . 5.241 5.243 5.245 5.246

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и дифференцируемой, за исключением быть может конечного числа точек, на отрезке достигается или во внутренних критических точках или на концах отрезка.

В задачах 5.249-5.255 найти наибольшие и наименьшие значения функций в указанных промежутках:

5.249 5.250 5.251

5.252 5.253 5.254 5.255

5.261. Число 8 разбить на 2 неотрицательных слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

5.262 Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?

5.263 Число 36 разложить на два таких неотрицательных множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

5.266 Отрезок длины разделить на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на этих частях, была наименьшей.

5.268 В полукруг радиуса R вписан прямоугольник с наибольшей площадью. Определить его основание и высоту

5.269 Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Задан периметр Р этой фигуры. При каких размерах окно будет пропускать наибольшее количество света?

5.278 Функция издержек производства предприятием продукции имеет вид , где - объём производства. Найти при каком объёме выпускаемой предприятием продукции средние издержки производства будут наименьшими.

5.279 Найти оптимальный для предприятия объём выпускаемой продукции при котором прибыль окажется наибольшей, если весь товар реализуется по фиксированной цене ден.ед. за 1 единицу продукции, а функция издержек имеет вид: а) , ; б) , .

5.280 Найти оптимальный для предприятия объём выпускаемой продукции при котором прибыль окажется наибольшей. Предполагается, что весь товар реализуется по цене ден.ед. за 1 единицу продукции объёма , который можно продать по этой цене, а функция издержек имеет следующий вид:

а) , ; б) , .

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.

Точка является точкой возможного перегиба функции , если в этой точке или не существует. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы выпуклости и вогнутости.

Необходимое условие перегиба. Если - точка перегиба функции , то или не существует. Достаточное условие перегиба. Пустьфункция дважды дифференцируема в окрестности точки , в которой или не существует. Тогда, если производная , при переходе через точку меняет знак, то - точка перегиба.

В задачах 5.281-5.287 найти точки перегиба, интервалы вогнутости и выпуклости графиков функций:

5.281 5.282 5.284 5.285

Прямая является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда является точкой бесконечного разрыва функции . Прямая является наклонной асимптотой графика функции при тогда и только тогда, когда одновременно существуют пределы: и .

В задачах 5.293-5.306 найти асимптоты графиков функций:

5.293 5.294 5.295 5.296 5.297

5.299 5.301 5.302 5.303 5.306



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: