Задания взяты из задачника А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева и др. «Алгебра и начала анализа».
Профильный уровень. Часть 2. 10 класс. М., «Мнемозина», 2007г.
№ 21.54
а) arcsin2х =.
Решение: -< <. По определению арксинуса получаем систему:
sin = 2х, 2х =, х =,
≤ 1; => -1 ≤ 2х ≤ 1; => -0,5 ≤ х ≤ 0,5; => х =.
Ответ:.
б) arctg(4х + 1) =.
Решение: По определению арктангенса tg = 4 х + 1, где -< arctg(4х + 1)<, но -;, следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.
в) arссоs( 3 х – 3,5) =.
Решение: 0≤≤. По определению арккосинуса имеем систему:
3 х – 3,5 = соs, 3 х – 3,5 = - 0,5, 3 х = 3,
-1 ≤ 3 х – 3,5 ≤ 1; => 5 ≤ 3 х ≤ 4,5; => ≤ х ≤; => х = 1.
Ответ: 1.
г) arctg( 4 х + 1 ) =.
Решение: По определению арктангенса 4 х + 1 = tg, где 0 <<. Следовательно,
4 х + 1 = -1, где х = -.
Ответ: -.
№ 21.25, №21.56, №21.57, № 21.58, №21.59. (см. Приложение 3)
Урок 4.
Тема: Решение неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.
Цель: Сформировать умение решать графически и аналитически неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции.
Презентация 4 группы учащихся
№ 21.60 а) Решить неравенство arссоs х>.
Решение: Т.к. функции у = arссоs х и у = соs х монотонны на отрезке [0;], то данное неравенство будет равносильно системе
соs(arссоs х) <соs, x < -,
≤ 1; => -1≤ х ≤ 1; => -1≤ х < -;
Ответ: [-1; -)
№ 21.61 а) Решить неравенство 9 arcsin2х ≤.
Решение: (3 arcsin х -)(3 arcsin х +) ≤ 0
Замена: arcsin х = t, (3 t -) (3 t+) ≤ 0, -≤ t ≤. Вернемся к замене -≤ arcsin х ≤.
Отсюда, учитывая, что функция у = arcsin х монотонна на -;, -≤ х ≤.
Ответ: [-;].
№ 21.62 а) Решить неравенство: 8 arcsin 2х + 2 arcsin х<.
Решение: Областью допустимых значений неравенства является отрезок [-1;1].
Замена: arcsin х = t, где -≤ t ≤. Тогда данное неравенство примет вид
8 t2 + 2 t - 2<0, где t -;
= + 8 = 9, t1 =, t2 =;
Следовательно, 8(t -)(t +) <0, t(-;).
Учитывая, что числа и - принадлежат отрезку -;, вернемся к замене
- < arcsin х <. Учитывая монотонность функции у = arcsin х на отрезке-;, получим -1 < х <. С учетом ОДЗ запишем ответ.
Ответ: -1 < х <.
III. Итог всей работы:
В конце презентации учитель подводит итог, задавая учащимся вопросы:
1. Каковы отличительные особенности графиков обратных тригонометрических функций от графиков тригонометрических функций?
2. Сегодня вы познакомились с некоторыми важными соотношениями между обратными тригонометрическими функциями. А чем они важны?
3. Назовите и охарактеризуйте методы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.
4. Назовите и охарактеризуйте методы решения неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.
Приложение 1.
1 3
2 4
Приложение 2.
1) sin (arcsin х)=х, где≤ 1. (см. определение арксинуса)
2) cos (arcsin х)=, где≤ 1
Доказательство: Пусть arcsin х= у, тогда sinу = х, где у -;. Нам нужно найти cosу. Известно, что cos2у = 1- sin2у. Значит, cos2у = 1 – х2, где у -;. Косинус принимает неотрицательные значения, поэтому cosу =, т.е. cos (arcsin х)=, где≤ 1.
3) tg (arcsin х)=, где < 1.
Доказательство: tg (arcsin х) = =, где < 1.
4) ctg (arcsin х)=, где ≤ 1,, х ≠0.
Доказательство: ctg (arcsin х) = =, где ≤ 1, х ≠0.
5) cos (arccos x)=х, где ≤ 1. (см. определение арккосинуса).
6) sin (arccos x)=, где ≤ 1.
Доказательство: Пусть arccos x = у, где у [0;], тогда х = cos у. Нам надо найти sin у. Известно, что sin2у = 1 - cos2у, значит, sin2у = 1 – х 2, где ≤ 1, а на отрезке [0;] синус принимает неотрицательные значения. Поэтому sin у =, где ≤ 1.
7) tg (arccos x)=, где ≤ 1, х ≠0.
Доказательство: tg (arccos x)= =, где ≤ 1, х ≠0.
8) ctg (arсcos x)=, где< 1.
Доказательство: ctg (arсcos x)= =, где< 1.
9) tg (arctg x)=х. (см. Определение арктангенса).
10) sin (arctg x)=.
Доказательство: Пусть arctg x=у, тогда tg у = х, где у (-;.). Нам нужно найти sin у. Известно, что 1 + tg2у =. Но у (-;.), а на интервале (-;) косинус принимает лишь положительные значения. Поэтому cos2у =, т.е. cos (arctg x) =. А т.к. sinу = cos у tg у, то sin (arctg x)= tg (arctg x) cos (arctg x) =.
11) cos (arctg x) =. (см. предыдущий случай)
12) ctg (arctg x)=, где х.
Доказательство: ctg (arctg x) = =, где х ≠0.
13) ctg (arcctg x)=х. (см. определение арккотангенса)
14) sin (arcctg x)=.
Доказательство: Пусть arcctg x=у, тогда с tg у = х, где у (0;). Нам необходимо найти sinу. Известно, что 1 + сtg2у =, откуда sin2у =. Учитывая, что у (0;), а синус на этом интервале принимает положительные значения. Поэтому sinу =, т.е.
sin (arcctg x)=.
15) cos (arcсtg x)=.
Доказательство: Известно, что cosу = сtg у sin у, то получим
cos (arcсtgх) = сtg(arcсtg x) sin(arcctg x)= х=.
16) tg (arcctg x)=, где х ≠0.
Доказательство: tg (arcctg x)==, где х ≠0.
17) arcsin х+arcos x=, где ≤ 1.
Доказательство: arcsin х = - arcos x. Возьмем синус от обеих частей равенства
sin (arcsin х) = sin (- arcos x) => х = cos(arcos x) => х = х. Значит, arcsin х+arcos x=, где ≤ 1.
18) arctg x+arcctg x=.
Доказательство: arctg x = - arcctg x => tg(arctg x) = tg( - arсctg x) => х = ctg (arcctg x) => х = х. Значит, arctg x+arcctg x=.
Приложение 3
№ 21.25 а) arcsin(3х2- 5х + 1) =.
Решение: - ≤≤. По определению арксинуса получаем систему:
3х2 – 5х + 1 = 1, 3х2 – 5х = 0, х = 0, х = 0,
-1 ≤ 3х2 – 5х + 1≤1; => -1 ≤ 3х2 – 5х + 1≤1; => х =, => х =.
│3х2 – 5х + 1│ ≤ 1;
Ответ: 0;.
б) arctg (х3 – 27 -) = -.
Решение: - <-<. По определению арктангенса имеем х3 – 27 - = -, то х3 = 27,
х = 3.
Ответ: 3.
№21.56 а) arcsin (tg) - arcsin- = 0.
Решение: Определим область допустимых значений уравнения ││≤ 1, т.е. 3 < x < ∞
- arcsin- = 0, arcsin=. Вследствие монотонности у = arcsin х на отрезке
[-;] имеем sin(arcsin) = sin, =, х = 4. С учетом ОДЗ получаем х = 4.
Ответ: 4.
№21.57 а) 8 arcsin2 х + 2arcsin х = 2.
Решение: ОДЗ: х [-1;1]. Замена: arcsin х = t, где t [-;].
8 t2 + 2 t - 2 = 0, = 2 – 8(-2) = 9 2, t1 = = ; t2 = = -.
Проверим.
Числа принадлежат отрезку [-;].
Вернемся к замене:
аrcsin х =, или аrcsin х = -,
sin(arcsin х) = sin, sin(arcsin х) = sin( -),
х =.х = -1.
С учетом ОДЗ можем записать ответ. Ответ: -1;.
№21.58 в) arcos(3х + 1) = arcos(2х + 5).
Решение: Найдем ОДЗ уравнения. Она совпадает с решением системы:
│3х + 1│≤ 1, -1 ≤ 3х+ 1≤1, -≤ х ≤ 0,
│2х + 5│≤ 1; => -1≤ 2х + 5 ≤ 1; => -3 ≤ х ≤ -2;
Система решений не имеет.
Ответ: корней нет.
№21.59 а) arcos x = arctg x.
Решение: Левая часть уравнения принимает значения из отрезка [0;] (по определению арккосинуса), а правая - из отрезка (-;) (по определению арктангенса). Значит, нас интересуют те значения х, при которых обе части уравнения принимают равные значения на отрезке [0;). Пусть arcos x= t, arctg x= r. Нас интересует равенство t = r, где t и r принадлежат отрезку [0;). Но на этом отрезке равенство t = r эквивалентно равенству
cos t = cos r. Поэтому мы имеем право взять от обеих частей заданного уравнения косинус, т.е. перейти к уравнению cos(arcos x) = cos(arctg x),
х =, где ≤ 1;
х 2 - = 0,
= 0.
Замена х 2 = t, то =0,
откуда t1 =; t2= .
t2 – посторонний корень.
Вернемся к замене х 2 = ,
х1 =; х2 = -;
С учетом 0≤х ≤ 1, запишем х =;
Ответ:.