СХОДИМОСТЬ МНОГОМЕРНЫХ ОПЕРАТОРОВ.




Для оценки эффективности рассмотрим сходимость к точному значению многомерных операторов.

Введем основные понятия и условие сходимости.

Функция является решением задачи:

(5.1)

 

в области D, ограниченной контуром Г, если она удовлетворяет уравнению (5.1), а также краевым, начальным или начально-краевым условиям.

Будем использовать два пространства:

U – пространство непрерывных в D функций

- пространство сеточных функций в полученное дискретизацией по времени и координатам исходного U-пространства непрерывных функций в D.

В качестве аналога задачи (5.1) в пространстве сеточных функций определен разностный оператор

(5.2)

 

Где . В пространствах введены нормы соответственно

Определение 1.

Разностная схема является сходящейся, если при имеет место:

Определение 2.

Если выполнено следующее условие:

, где c - постоянная, независящая от h, то имеет место скорость сходимости к аналитическому решению порядка s.

Определение 3.

Разностная схема называется аппроксимирующей исходную задачу на решении u(x,y), если

и при . Функция называется погрешностью аппроксимации разностной схемы.

Поскольку для анализа сходимости необходимо исследовать условие[1]

   

где c – постоянная, не зависящая от h, необходимо построить приближенные представления решений, доставляемые разностными схемами. Аналогичные оценки используются при анализе скорости сходимости к аналитическому решению заданного порядка. При исследовании сходимости используются полиномиальные аппроксимации решений, которые локально адекватны решениям семейств линейных систем.


 

ПРОВЕДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Логическим завершением работы можно считать проведение эксперимента с использованием построенной математической модели.

Для этого эксперимента была создана программа, обрабатывающая исходные данные, вычисляющая необходимые величины, выводящая их в файл и также изображающая результаты визуально.

В качестве многослойного объекта была выбрана следующая фигура:

 
Рис.6.1. Трехмерное изображение объекта.
 

Физически это часть стены, в которой гвоздь держит отделочный материал комнаты.

Этот эксперимент можно обозначить как исследование теплопроводности материалов в условиях пожара, мороза, или резкой смены температур.

В результате необходимо получить таблицы коэффициентов для построения операторов, вывести их в файл, а также построить графическую модель системы.

 

 

Исходные данные:

Сведения об исходных данных представлены на рисунке (4.1.3).

Исходные данные представляются в виде одного столбца, с указанием общего числа данных в файле. В связи с очень большим количеством данных и отсутствием удобной формы представления и задаваемых данных, я не буду описывать начальные условия.

Результаты:

1. Получена таблица коэффициентов кусочно-линейного оператора:

2.825000 -0.175000 -0.475000 -7.600000 1.550000 1.550000 5.700000 0.400000 1.800000 1.525000 1.175000 0.875000

2. Получена таблица для вычисления кусочно-постоянного оператора:

1.250000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.375000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.125000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.375000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.125000   0.000000 0.125000 0.250000 -0.250000 -0.125000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.125000 0.125000 0.000000 0.000000 0.000000 0.125000 -0.125000 0.125000 -0.125000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000   0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000   -0.250000 -0.125000 -0.250000 0.250000 0.125000 0.000000 -0.125000 0.000000 0.125000 -0.125000 0.000000 -0.125000 0.000000 -0.125000 0.125000 -0.125000 0.125000 0.000000 -0.375000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.125000

 

Кроме табличных значений коэффициентов мы можем получить графическое представление о процессе.

На рисунках 6.2 и 6.3 представлена графическая модель объекта.

 
Рис 6.2.Отображение материалов поверхностей
 

Первая цветовая схема определяет материал в каждой точке тела, и выводит в виде областей разного цвета. Для этого используется только кусочно-постоянный оператор.

График справа и данные слева рисунка нужны для второй схемы.

 

 

 
Рис.6.3 Отображение значений коэффициентов теплопроводности
 

На рисунке 6.3. представлен второй режим – отображения, основной, выводящий информацию о коэффициенте теплопроводности в точках объекта. Информация слева показывает текущую температуру, координату заданной точки, а также номер материала, и значение коэффициента теплопроводности

График справа изображает характер коэффициентов теплопроводности разных материалов, в зависимости от температуры. Для графика применяется кусочно-линейный оператор.

И самым важным результатом является параллелепипед в центре. В зависимости от текущей температуры, и координаты, высчитывается значение коэффициента теплопроводности. С помощью оттенков цвета показывается значение коэффициента теплопроводности.

В результате была получена математическая модель, описывающая геометрические (рис 6.2) и физические (рис 6.3) свойства объекта. Благодаря коэффициентам и , аналогичную модель можно построить в любой другой математической среде.


ВЫВОД

В ходе написания работы был проведен анализ методик учета физических и геометрических характеристик тел. В качестве основной была выбрана методики, построенная на обобщенной модели теплопроводности учитывающей, температурные, температурно-скоростные и температурно-координатные изменения параметров моделей теплопроводности с применением кусочно-линейных и кусочно-постоянных операторов.

Был проведен анализ кусочно-линейных и кусочно-постоянных операторов. На основе анализа были синтезированы N-мерные операторы.

Построена математическая модель для расчета коэффициента теплопроводности произвольного многослойного образца, в зависимости от координат и температуры. В математической модели использовался одномерный кусочно-постоянный оператор, и трехмерный кусочно-постоянный.

Была построена математическая модель, реализующая эту математическую модель

В этой работы был проведен анализ кусочных операторов, с последующим синтезом N-мерных кусочно-линейных и кусочно-постоянных операторов.

В качестве эксперимента была выбрана трехмерная модель образца, имеющего области с различными тепловыми характеристиками. Компьютерная программа смогла обработать эту модель, и получить трехмерную модель тела, вычисляющая коэффициент теплопроводности в любой точке, для диапазона температур.

 


 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.Н. Козлов, С.В. Хлопин. Математические и информационные модели теплофизических процессов. Санкт-Петербург, изд. Политехнического университета, 2010 г. 189 стр.

2. В.Н. Козлов, В.Е. Куприянов, В.С. Забородский. Вычислительные методы синтеза систем автоматического управления. Ленинград, изд. Ленинградского университета. 1989 г. 224стр.

3. Козлов В.Н., Хлопин С.В. Обобщенные модели теплопроводности. Материалы X Всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы Cб. Фундаментальные исследования в технических университетах». Санкт-Петербург. – СПб.: СПбГПУ, 2006. –578 с. Стр. 62-63.

4. Козлов В.Н., Магомедов К.А., Хлопин С.В. Операторно-функицональный метод моделирования тепловых процессов. Материалы VIII Всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы. Cб. «Фундаментальные исследования в технических университетах». Санкт-Петербург. – СПб.: СПбГПУ, 2004г, 394с. Стр. 15-17

5. Даугавет И.К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. Санкт-Петербург, изд. «БХВ-Петербург, 2006 год»

6. Самарский А.А, Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача, Москва, изд. УРСС, 2003 г. 784 с.


ПРИЛОЖЕНИЯ



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-07 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: