Кафедра прикладной математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
По дисциплине «Прикладная математика»
Выполнил Набиев Р.Р.
Институт ИНиМЭ
Отделение дневное
Курс II
Группа 2
Руководитель Курочккин А. П.
Дата сдачи на проверку 30.05.02.
Дата защиты
Оценка
Подпись руководителя
Москва – 2002
СОДЕРЖАНИЕ.
ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА. 3
СОСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛИ НОВОЙ ПРОИЗВОДСTВЕННОЙ ПРОГРАММЫС УЧЁТОМ ПРОПОРЦИЙ. 7
ФОРМУЛИРОВКА ДВОЙСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ И ЕЁ РЕШЕНИЕ ДВОЙСТВЕННЫМ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ. 8
“РАСШИВКА УЗКИХ МЕСТ“ ПРОИЗВОДСТВА. ФОРМУЛИРОВКА И СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ. 9
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА. 10
МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ. 12
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАПВЛОЖЕНИЙ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. 13
ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. 16
ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА.
Вариант № 15.
Формулировка линейной производственной задачи:
Фирмой «Балтика » выпускает 4 вида продукции:
х1 - Пиво безалкогольное,
х2 – Пиво классичечкое,
х3 – Пиво крепкое,
х4 – Пиво темное.
При этом фирма располагает 3 видами ресурсов:
162 т. – пшеницы,
134 т. – солод,
148 т. - хмель
Требуется составить такой план выпуска изделий х1, х2, х3, х4, при котором мы уложимся в имеющиеся ресурсы и суммарная прибыль от реализации изготовленных по плану изделий будет максимальна.
Это – задача оптимизации и для ее решения необходимо создать математическую модель
А - матрица удельных затрат;
В - вектор объёмов ресурсов;
С - вектор удельной прибыли.
а11 а12 а13 а14 в1
А = а21 а22 а23 а24; В= в2;
а31 а32 а33 а34 в3
С = (с1, с2, с3, с4).
В индивидуальном задании матрицы компактно записаны в виде:
| С1 | С2 | С3 | С4 | |||||||
| a11 | a12 | a13 | a14 | B1 | ||||||
| a21 | a22 | a23 | a24 | B2 | ||||||
| a31 | a32 | a33 | a34 | B3 |
3 0 2 5 162
А = 3 6 0 3 В = 134
2 4 3 1 148
С=(24, 20, 31, 10).
Х - вектор объёмов выпуска продукции (производственная программа).
Х = (х1, х2, х3, х4) – 4 вида изделий.
В общем виде математическая модель линейной производственной задачи выглядит следующим образом:
найти Х = (х1, х2, х3, х4) такие, что
(1) z(x1, x2, x3, x4) = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 ® max, где z- функция прибыли;
|
а21х1+а22х2+а23х3+а34х4 < в2;
а31х1+а32х2+а33х3+а34х4 < в3
(3) xi ³0, i=1,4.
(1) - целевая функция;
(2) - линейные ограничения задачи (ограничения по ресурсам);
(3) - условие не отрицательности задачи.
Подставив соответствующие значения, имеем:
(1) z=24x1+20x2+31x3+10х4®max
|
(2) 3x1 + 2x3 + 5x4 £ 162
3x1 + 6x2 + 3x4 £ 134
2x1 + 4x2+3x3 + x4 £ 148
(3) xi ³ 0, i=1...4.
(1)-(3)- математическая модель линейной производственной задачи.
Целевая функция (1) и условие не отрицательности (3) остаются без изменений. В линейные ограничения по ресурсам вводятся дополнительные выравнивающие переменные х5, х6, х7.,которые также являются базисными.
х5 - остаток 1-го ресурса;
х6 - остаток 2-го ресурса;
х7 - остаток 3-го ресурса.
Неравенство (2) следует заменить уравнениями. Получим задачу линейного программирования в каноническом виде:
(1) z=24x1+20x2+31x3+10х4®max
|
(2) 3x1 + 2x3 + 5x4 = 162
3x1 + 6x2 + 3x4 = 134
2x1 + 4x2+3x3 + x4 = 148
(3) xi ³ 0, i=1...4.
(1)-(3)-задача линейного программирования.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ.
Для решения задачи симплексным методом необходимо построить симплексную таблицу, что и сделано в следующей таблице:
| Сб | Хб | Н | С1 | С2 | С3 | С4 | С5 | С6 | С7 | α | |
| Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | Х7 | |||||
| С5 | Х5 | В5 | а11 | а12 | а13 | а14 | |||||
| С6 | Х6 | В6 | а21 | a22 | a23 | a24 | |||||
| C7 | X7 | B7 | a31 | a32 | a33 | a34 | |||||
| Z | Z0 | D1 | D2 | D3 | D4 |
Подставив соответствующие значения из (1) и (3), имеем:
| Сб | Xб | Н | α | ||||||||
| Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | Х7 | |||||
| Х5 | |||||||||||
| Х6 | - | ||||||||||
| Х7 | 3* | 49min | |||||||||
| – | L | -24 | -20 | -31 | -10 | ||||||
| Х5 | 190/3 | 5/3* | -8/3 | 13/3 | -2/3 | 38min | |||||
| Х6 | |||||||||||
| Х3 | 148/3 | 2/3 | 4/3 | 1/3 | 1/3 | ||||||
| – | – | - | -10/3 | 64/3 | 1/3 | 31/3 | |||||
| Х1 | -8/5 | 13/5 | 3/5 | -2/5 | |||||||
| Х6 | 54/5 | -24/5 | -9/5 | 6/5 | |||||||
| Х3 | 12/5 | -7/5 | -2/5 | 3/5 | |||||||
| – | – | -9 | -2 | -9 |
Пояснения к таблицам.
Хб- базисная переменная;
Н - значение переменной при равных нулю значениях небазисных переменных.
aij* - разрешающий элемент.
Z=Сб*Gj-Cj; Gj=(а1j, a2j, a3j)
Пояснения к решению задачи. Алгоритм решения.
Просматриваем значения 4-й строки. Если все Dj ³ 0,то решение задачи оптимально.
Если какие-либо Dj < 0, находим min(Dj < 0) = Dк.
Хк включаем в число базисных переменных.
Отыскиваем переменную исключаемую из базиса:
находим min(H/Gj) = H2/G2 (для всех Gj > 0);
Х5 исключаем из числа базисных переменных.
Строим новую симплексную таблицу, преобразуя исходную.
Возвращаемся в пункт 1.
Опорный план первой симплексной таблицы.
X=(0, 0, 0, 0, 162, 134, 148)
Этот опорный план отражает производство, при котором ничего не выпускается, сырьё не используется и стоимость произведённой продукции равна 0.
В строке оценочных коэффициентов имеются отрицательные значения, которые показывают на сколько увеличится прибыль от производства продукции при включении в план производства одной единицы продукции того или иного вида. Наиболее выгодным в данной задаче будет внедрение в производство третьего вида продукции, так как ему соответствует максимальная прибыль 31 денежных единиц. Поэтому x3 становится базисной неизвестной и запускается вторая технология. Так же определяем технологию, которую надо исключить из производства. Ограничивающим фактором будет объём сырья третьего вида, так как из него можно произвести наименьшее количество продукции первого вида, так как ему соответствует наименьшее α равное 10.
Опорный план второй симплексной таблицы.
X=(0, 148/3, 0, 0, 190/3, 0, 134)
Стоимость продукции при таком плане производства z=4588/3 денежных единиц.
Значение в столбцах данной симплексной таблицы показывают соотношение выпуска определённых видов продукции, либо затраты ресурсов при дополнительном вводе в производство какого-либо вида продукции
По этой таблице определяем, что наибольший прирост прибыли принесёт первый вид продукции. При исключении из базиса x6 неиспользованный второй ресурс полностью уйдёт в производство. С учётом этого составляем третью симплексную таблицу.
Опорный план третьей симплексной таблицы.
X=(38, 0, 24, 0, 0,20, 0)
При данном плане производства достигается прибыль в размере 1656 денежных единиц.
Этот план не предполагает выпуска третьей и четвёртой продукции.
Все Dj ³ 0 следовательно, план оптимален.
Выводы.
Оптимальная производственная программа имеет вид:
Х1=38, Х2=0, Х3=24, Х4=0, или Х=(38,0,24,0).
Максимальная прибыль равна Zmax=1656.
Использование ресурсов:
1-й и 3-ий ресурс используется полностью (Х5=0,Х6=0), а 2-ый ресурс имеет остаток Х7=20 единиц.
При выполнении производственной программы 1-й и 2-ий ресурсы используются полностью, то есть образуют “узкие места производства”.