Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация.

ГРАФИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Геометрический смысл производной

Воспользуемся определением производной функции и ее связью с дифференциалом :

Изобразим на Рис. 1 рассматриваемые величины. Как видно из рисунка, производная функции в точке равна тангенсу угла между вектором касательной к графику функции в точке и направлением оси абсцисс: .

y=f (x)

f (x+∆ x) d y = f ´(x) d x

Рис. 1

∆ f (x) = f (x+Δ x) –f (x)

f (х)

x x+Δx x

∆ x = d x

Изобразим на Рис 2. тригонометрический круг единичного радиуса с осью тангенсов.

Для того, чтобы найти производную tg φ Рис. 2

функции в заданной точке графика,

необходимо построить в этой точке τ

касательный вектор τ, затем по Рис. 2 y

определить

Значение тангенса угла

между вектором τ и

направлением оси -1 x

Абсцисс. Значение

Производной будет

Равно найденному

значению тангенса. -1

Найдем значения производной для функции, изображенной на графике Рис. 3. Найденные значения производной будем откладывать на оси y'

На участке AB производная y Рис. 3 F

отрицательная, равна –1, A E

не меняется.

На участке BC производная G x

равна нулю.

На участке CD производная B C D

принимает опять значение –1. На участке DE производная y'

положительная, меньше 1. 1

На участке FG производная

такая же, как на участке AB. x

-1

Графическое дифференцирование

Рассмотрим более сложный пример графика функции, когда на отдельных участках функция совпадает с квадратным трехчленом. Эти участки будем условно обозначать ~ . График производной на таких участках, очевидно, представляет собой прямую линию: .

Пр.1 y

Рис. 4

A B C D E F G

-1

Опишем поведение производной на всех участках графика функции исходя из поведения тангенса угла , затем указанное поведение производной изобразим на графике:

AB: Производная отрицательна, постоянная, меньше единицы.

BC: Производная в верхней точке параболы обращается в ноль, в точке В производная положительная, примерно равна 2. Ввиду того, что графиком производной должна быть прямая, проводим через указанные две точки отрезок прямой.

CD: Производная отрицательна, не меняется, значение производной по модулю меньше единицы.

DE: Производная в точке D равна нулю, затем возрастает и достигает в точке Е некоторого положительного значения большего единицы. С учетом, что участок соответствует квадратичной параболе, имеем в качестве графика производной отрезок прямой.

EF: Производная в точке Е равна нулю, затем уменьшается и достигает в точке F значения, примерно равного -2.

FG: Производная положительна, не меняется, больше единицы.

Пр. 2 Теперь рассмотрим случай, когда отдельные участки графика функции являются произвольными кривыми, не являющимися квадратичными параболами.

Y Рис. 5

A B C D E F G Q R x

Для построения графика производной Пр. 2 сначала опишем поведение

тангенса угла наклона касательной, мысленно представляя единичный круг и ось тангенсов на нем:

A: На производная стремится к нулю. Таким образом начиная с нуля на производная уменьшается и, приближаясь к точке перегиба A, cтремится к . Точка А является недифференцируемой точкой перегиба, отделяющей выпуклую и вогнутую части кривой. В самой же точке А.производная не существует (стремится к - ).

AB: Справа в точке А производная по-прежнему равна - и, при движении к точке В стремится к нулю.

BC: Справа в точке В производная стремится к (вертикальная асимптота). При движении к точке С производная уменьшается до нуля..

CD: Производная отрицательная постоянная, равна примерно –1.

DE: Из нуля в точке D производная увеличивается и принимает достаточно большое значение в точке Е.

EF: Справа в точке Е производная равна + , затем уменьшается и, оставаясь отрицательной, принимает малые отрицательные значения в точке F.

FG: Производная отрицательна, возрастает до нуля. С учетом параболичности участка, график производной – прямая линия.

GQ: Производная положительна, не меняется, принимает значение, меньшее1.

QR: Производная отрицательна. Принимает большое отрицательное значение в точка Q, затем увеличивается, стремится к нулю, но нуля в точке R не достигает.

Пр.3 Посвящен дифференцированию функции в окрестности точек перегиба, как дифференцируемых, так и недифференцируемых (определения дифференцируемых и недифференцируемых точек см. в § 3)

Дифференцируемыми точками перегиба будем называть такие точки на графике, которые отделяют выпуклую часть кривой от вогнутой, причем в самой точке перегиба производная функции существует и не обращается в бесконечность.

Недифференцируемыми точками перегиба будем называть такие точки на графике функции, которые отделяют выпуклую часть кривой от вогнутой, причем в самой точке перегиба производная или не существует, или обращается в бесконечность.

Пр. 4 y Рис.6

A B C D P Q R S T N M L E F G x

Слева от оси ординат в точках графика при х = С и х = Q имеются дифференцируемые точки перегиба. Справа от оси в точках графика при х =T, N, M, F – недифференцируемые точки пергиба.

Опишем поведение производной функции в Пр. 4 на каждом участке:

AD: В точке А производная положительна, уменьшается до нуля при х=В, далее продолжает уменьшаться, становясь отрицательной, затем в точке перегиба при х = С начинает возрастать и достигает нуля в точке D.

PR: В точке Р производная положительна, затем уменьшается до нуля при х = Q, затем начинает увеличиваться и принимает наибольшее положительное значение в точке при х = R.

SN: При х = S производная равна нулю, затем уменьшается, становясь отрицательной, и при х = Т обращается в . Справа от точки Т производная из увеличивается до нуля при х = N.

NL: При х = N производная обращается в затем уменьшается до нуля при x = M. Справа в точке х = М производная обращается в минус бесконечность,Затем увеличивается почти до нуля, оставаясь отрицательной в точке при х = L.

LF: При х = L производная отрицательна, возрастает до нуля при х = Е, затем продолжает возрастать до точки F.

FG: При х = F производная равна нулю, затем уменьшается.

В следующем примере разберем поведение графика производной, если функция имеет наклонные и горизонтальные асимптоты.

y y

Пр. 5

A F

x x

B С D E

Рис. 7

x x

- С: На производная отрицательна и стремится к нулю. На участке AC производная, оставаясь отрицательной, продолжает уменьшаться до точки пергиба В, затем начинает возрастать и достигает нуля в точке С.

C : Из нуля в точке С производная возрастает до точки перегиба D, затем уменьшается, оставаясь положительной стремиться на к положительному значению.

EF : На минус бесконечности производная стремится к постоянному отрицательному значению. Возрастая от этого значения, оставаясь отрицательной, производная в точке становится равной нулю, затем продолжает возрастать до точки перегиба F, затем, оставаясь положительной стремится на к постоянному положительному значению.

Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация.

Определение 1. Дифференцируемой точкой функции назовем такую точку на графике функции, в которой существует конечная производная функции (существует касательная, не направленная вертикально).

Определение 2. Недифференцируемой точкой функции назовем такую точку на графике функции, в которой или не существует производная функции (не существует

касательная, касательная справа и касательная слева не совпадают), или производная обращается в бесконечность (касательная вертикальная).

В соответствии с введенными определениями можно ввести понятие локального дифференцируемого и недифференцирруемого экстремумов, графическое изображение которых дано на Рис. 1

y Рис. 1

E R

D F х

B G

Точки на графике A, B – точки дифференцируемого экстремума (максимума и минимума, соответственно). Точки С, D, E, F, G, R – точки недифференцируемого экстремума (C, E, R – точки максимума; D, F, G – точки минимума).

Проиллюстрируем с помощью графического дифференцирования справедливость необходимого и достаточных признаков существования локального экстремума функции.

y y