П.2. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат

Тройные интегралы

П.1. Понятие тройного интеграла. Свойства тройного интеграла

Пусть функция непрерывна в замкнутой области (т.е. в области V пространства Оxyz). Разобьем область V сеткой произвольных гладких поверхностей на n элементарных областей (), объемы которых обозначим . В каждой элементарной области выберем произвольным образом точку (), умножим значение функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений

(1)

Сумма (1) называется интегральной суммой функции по области V.

Обозначим через максимальный диаметр элементарной области (максимальное расстояние между точками этой области).

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) при () и он не зависит ни от способа разбиения области V на элементарные области, ни от выбора точек в них, то этот предел называется тройным интегралом от функции по области V и обозначается или .

Таким образом, по определению, имеем

. (2)

Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной суммы (2) при () существует и не зависит ни от способа разбиения области V на элементарные части, ни от выбора точек в них.

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла.

1. .

2. .

3. = + , где , а пересечение областей и состоит из границы, их разделяющей.

4. Если в области интегрирования , то и ; если в области V функция , то и .

5. Если в области V функция , то , где V – объем области интегрирования.

6. , где m и M – наименьшее и наибольшее значения функции в области V.

7. (теорема о среднем значении). Если функция непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует точка , такая что где V – объем области интегрирования.

п.2. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат

В декартовой системе координат вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Пусть область интегрирования V ограничена снизу поверхностью , сверху – поверхностью (), причем и – непрерывные функции в замкнутой области D, являющейся проекцией области V на плоскость Оxy.

Пусть область V – правильная в направлении оси Оz, т.е. любая прямая, параллельная оси Оz, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой функции , непрерывной в области V, справедлива формула

. (3)

Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла от определенного (в скобках). При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z (при этом x и y – const), а затем – двойной по области D. Результатом вычисления внутреннего интеграла является функция двух переменных: x и y.

Если область D ограничена линиями , где и – непрерывные на отрезке функции, причем , то, переходя в формуле (3) от двойного интеграла по области D к повторному, получим

. (4)

По формуле (4) вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах.

Замечания.

1. Аналогичным образом вычисляется тройной интеграл и в том случае, когда область интегрирования является правильной в направлении осей Оx и Оy.

2. Если область V более сложная, чем рассмотренная выше, то ее следует разбить на конечное число областей, правильных в направлении какой-либо оси, и просуммировать результаты вычисления по этим областям.

3. Если область интегрирования – прямоугольный параллелепипед, задаваемый неравенствами , то

. (5)

Пример 1. Вычислить , где область V ограничена поверхностями .

Решение. Чтобы найти интеграл, необходимо понимать, как выглядит область интегрирования V. Построим ее. Уравнения определяют в пространстве координатные плоскости Оyz, Оxz и Оxy соответственно, уравнение – плоскость, проходящую через точки и . Область интегрирования V представляет собой тетраэдр. Область V является правильной в направлении оси Оz (как и в направлении осей Оx и Оy). Её проекция на плоскость Оxy – треугольник ОАВ, является правильной в направлении оси Оy (и оси Оx). В области V справедливы неравенства . Тогда, согласно формуле (4), имеем: