Издательский дом Дальневосточного федерального университета

Величина вектора момента силы (численное значение момента силы) определяется согласно формуле векторного произведения, т.е. , где a- угол между направлениями векторов и . Вели­чина p= r·Sinα называется плечом силы (рис.2). Плечо силы р - это кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы . Следовательно, величину момента силы можно найти как произведение силы на ее плечо:M=Fp.

Моментом силы относительно оси, называется проекция на эту ось вектора момента силы, найденного относительно любой точки, принадлежащей этой оси. Ясно, что относительно оси момент силы является скалярной величиной. В системе СИ момент силы измеряется в Н·м

Мерой инертности тел при поступательном движении является их масса. Инертность же тел при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вра­щения. Мерой инертности тела при вращательном движении является момент инерции тела I относительно оси вращения или точки. Момент инер­ции, как и масса, величина аддитивная, скалярная.

Моментом инерции тела относительно оси вращения называется физическая скалярная величина, равная сумме произведений масс матери­альных точек (на которые можно разбить все тело) на квадратырасстояний каждой из них до оси вращения:

, (2)

где I -момент инерции материальной точки.

В системе СИ момент инерции измеряется в кг·м².

Момент инерции твердого тела зависит от массы тела, формы и раз­мера тела.

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

I =M. (3)

Уравнение (3) называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно оси. Так как = , а момент инерции тела относительно данной оси вращения является постоянной величиной и, следовательно, его можно внести под знак дифференциала, то уравнение (3) можно записать в виде:

. (4)

ВеличинаIw=L (5)

называется моментом импульса тела относительно оси. C учетом (5) урав­нение (4) можно записать в виде:

(6)

Уравнения (3-6) носят скалярный характер, и применяются только для описания вращательного движения тел относительно оси. При описании вращательного движения тел относительно точки (или полюса, или начала), принадлежащей данной оси, указанные уравнения соответственно записываются в векторном виде:

(3^*); (4^*); (5^*); (6^*).

При сравнении уравнений поступательного и вращательного движений тела видно, что при вращательном движении вместо силы в уравнениях стоит ее момент, вместо массы тела – момент его инерции, вместо импульса (или количества движения) – момент импульса (или момент количества движения).

Из уравнений (6) и (6^*) вытекает закон сохранения момента им­пульса твердого тела как относительно оси, так и относительно точки. Из уравнения (6) следует: если суммарный момент всех внешних сил М отно­сительно оси равен нулю(M=0, следовательно и dL=0), то момент импульса этого тела относительно оси его вращения остается постоянной величиной (L=Const).

В данной лабораторной работе определяются моменты инерции для простейших тел вращения. Под телом вращения понимается объемное тело, возникающее при вращении плоской фигуры, ограниченной произвольной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Тело вращения всегда имеет ось симметрии. Простейшими примерами тел вращения являются:

шар – образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза;

цилинд р – образован прямоугольником,вращающимся вокруг одной из его сторон;

конус – образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг од­ного из его катетов и т.п.

В рассматриваемой лабораторной работе методом крутильных колеба­ний определяются моменты инерции для тел: сферы, диска, стержня,полого и сплошного цилиндров. Кроме того, экспериментально проверя­ется теорема Гюйгенса-Штейнера. Эта теорема позволяет определить момент инерции тела относительно любой оси, не проходящей через центр массы тела, если известен момент инерции данного тела относительно оси прохо­дящей через центр масс и параллельной относительно искомой оси.

Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции тела относительно любой оси, не проходящей через центр массы данного тела, равен моменту инерции этого тела относительно оси, проходящей через его центр массы и параллельной первой оси, плюс произведение массы данного тела на квадрат расстояния между этими осями:I = I_o+mɑ², где I – момент инерции тела от­носительно искомой оси, (не проходящей через центр массы тела), Iо мо­мент инерции тела относительно оси проходящей через центр массы и параллельной первой оси, m- масса тела, ɑ - расстояние между осями.

Вывод рабочей формулы для расчета момента инерции тел враще­ния методом крутильных колебаний.

Крутильный маятник в данной работе состоит из спиральной пружины,закрепленной в штативе. С пружиной жестко скреплена ось, свободно вра­щающаяся в штативе. На ось крепится тело, момент инерции которого опре­деляется. Если эту систему вывести из положения равновесия, повернув тело на некоторый угол φ и отпустить, то возникнут крутильные колебания тела. При крутильных колебаниях на тело действует возвращающий момент силы, приостанавливающий отклонение тела от состояния равновесия, а затем со­общающий телу обратное движение. Возвращающий момент силы М обусловлен упругими силами, возникающими в спиральной пружине.

Как показывают эксперименты,в области упругих деформаций круче­ния, угол поворота спиральной пружины прямо пропорционален проекции момента силы М на ось вращения z (М_z), т.е.

М_z = -G·φ (7).

Коэффициент пропорциональности G называется угловым коэффициентом упругости спиральной пружины. Из уравнения (3) следует:М_z = I_z· ,где = - угловое ускорение, I_z – момент инерции тела относительно вращающейся оси установки. Следовательно,

М_z = I_z· (8).

Из (7) и (8) следует равенство: I_z· = - G·φ. Или

+ =0 (9)

Уравнение (9) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний, которое можно переписать в следующем виде

+ω²φ = 0, (10)

где ω² = (11)

Уравнение (10) описывает колебания крутильного маятника относительно его положения равновесия. Из решения дифференциального уравнения (10) следует, что колебания крутильного маятника яв­ляются гармоническими φ = φ_о·Sin(ω·t +α), где φ_о – амплитуда углового сме­щения, равная начальному угловому отклонению маятника, а ω- цикличе­ская частота колебаний, которая связана с периодом колебаний соотношением

ω= (12)

Из уравнений (11) и (12) вытекает рабочая формула эксперименталь­ного определения момента инерцииI_z для предложенных тел вращенияи проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера:

I_z=I= , (13)

Подготовкаи выполнение лабораторной работы.

Рис.3Общий вид экспериментальной установки и исследуемых тел.

Как видно из рабочей формулы (13) основными параметрами при экспериментальном определении моментов инерции указанных выше тел, яв­ляется период колебаний тела Т и угловой коэффициент упругости спиральной пружиныG. В данной лабораторной работе угловой коэффициент экспериментально уже определен и имеет значение .