Логические операции или символы

ЛЕКЦИЯ 1

Основные символы математической логики и теории множеств,

Их смысл

Основные символы математической логики

Математика является наукой, в которой все утверждения доказываются с помощью умозаключений, а именно путем использования законов человеческого мышления. Изучением таких законов занимается наука логика. Логика (от древнегреческого logos - слово, выражающее мысль) является наукой о законах и формах мышления, которые способны привести к истине.

Она изучает методы доказательства и опровержений, то есть методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других высказываний. Логика возникла в глубокой древности. Ещё греческий философ Аристотель (384-322 гг. до н.э.) систематизировал все известные до него сведения и создал систему силлогизмов – правил вывода (формальную или Аристотелеву логику).

Впервые в истории идея перенесения математических методов на логику была высказана немецким математиком Г. Лейбницем (1646-1716) в конце XVII века, который считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам. Он писал: «Мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши мысли другим лицам, но и для того, чтобы облегчить сам процесс нашего мышления» [м1]. Первая реализация идеи Лейбница принадлежит английскому учёному Д. Булю (1815-1864). Он создал алгебру высказываний, в которой буквами обозначены высказывания. Далее были определены операции над высказываниями и разработаны правила вывода, которые позволяют преобразовывать исходные утверждения подобные тождественным преобразованиям в математике.

Математическая логика полностью опирается на формальные математические методы. Она изучает схемы (формы) истинных высказываний, имеющих наибольшую степень общно­сти, схемы математических доказательств и правила их вывода.

В математике для записи формулировок и доказательств теорем применяют специальные символы, которые позволяют сократить запись и более точно выразить утверждение. Наиболее известные математические символы, известные ещё со школьного курса математики (см. табл 1.1).

В математике широко используется логическая символика, применяемая к высказываниям. Высказывание — это суждение, утверждающее что-то о чем либо. Про высказывание всегда можно сказать: истинно это суждение или ложно при данных условиях. Высказывания бывают элементарными (простыми)или составными (сложными). Составным называется такое высказывание, которое можно разбить на два или более суждений. В противном случае высказывание называется элементарным.

Высказывания обозначаются строчными буквами греческого алфавита: , … или буквами латинского: прописными A, B, C, …, или строчными: p, q, r, …, которые называются логическими (пропозициональными) переменными. Область значений логических или пропозициональных переменных состоит из двух, так называемых истинностных значений: истина и ложь. Существует соглашение в обозначениях: 1 – это истина, 0 – это ложь. Отметим, что не все предложения являются высказываниями. Например, предложение «Река Волга впадает в Каспийское море» является высказыванием, и оно истинно.

Таблица 1.1

Математические символы

№	Обозначение	Название	Значение	Пример
1.	+	плюс	сложение	2+3=5
2.	–	минус	вычитание	4-3=1
3.	,	умножение	умножение	2 3=6, 2 3=6
4.	, /,	деление	деление	8 2=4, ,
5.		меньше	меньше, чем	7 9
6.		больше	больше, чем	6 4
7.		меньше или равно (не больше)	меньше, чем или равно (не больше)	a b (a не больше, чем b)
8.		больше или равно (не меньше)	больше, чем или равно (не меньше)	a b (a не меньше, чем b)
9.	=	равно	равно	a = b
10.		не равно	не равно	3 4

. Предложение «Число 7 больше пяти» является высказыванием, и оно ложно. А предложение «Я говорю неправду» не является высказыванием, так как невозможно определить истинно оно или ложно. Вообще, в алгебре высказываний не рассматривается внутренняя структура и содержание высказываний, а определяется: истинны они или ложны.

Составные высказывания образуются из простых с помощью логических операций, которые соответствуют определенным связкам русского языка, таких как: и, или, если… то… иначе, не, и других. Истинность или ложность сложного суждения можно установить, если известна истин­ность простых суждений. Известны следующие логические операции или символов (см. табл. 1.2).

Таблица 1.2

логические операции или символы

№	Обозначение	Название	Значение	Пример
1.		импликация	следует	(из следует ) – ложно тогда и только тогда, когда из истины следует ложь. – через про­водник пропущен ток, – длина про­водника увеличится, – если через про­водник пропущен ток, то его длина увеличится;
2.		эквивалентность	равносильность	(из следует и из следует ) – истинно тогда, когда либо истинны либо ложны одновременно оба высказывания и ; – утро наступает, – восходит солнце, – утро наступает, тогда и только тогда, когда восходит солнце;
3.	, &	конъюнкция или логическое произведение	и, а, но, да	A B (A и B): A B – истинно тогда, когда истинны оба высказывания и A и B); A – Платон мне друг, B – истина мне дороже, A& B – Платон мне друг, но истина дороже;
4.		Дизъюнкция или логическая сумма	или, или … или, либо … либо	A B (A или B): A B – истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний или A или B); A – я найду доказательство этой теоремы, B – я докажу сам эту теорему, A B – либо я найду доказательство этой теоремы, либо докажу её сам;
5.	,	Отрицание или инверсия	не	или (не ): – истинно, когда – ложно и – ложно, когда – истинно; – мы рабы, – мы не рабы, рабы не мы;
6.		квантор всеобщности	для любого, для всех	x o: (для всех положительных x имеет место высказывание )
Продолжение таблицы 1.2
№	Обозначение	Название	Значение	Пример
7.		квантор существования	найдется, существует	x o: (найдется такой положительный x, чтоимеет место высказывание )
8.	!	существует и единственный	найдется единственный	! x =3: f(x)=0 (число x =3 является единственным корнем уравнения f(x)=0)