ЭЛЕМЕНТЫСТАТИКИ
Условия равновесия тел
Статикой называется раздел механики, изучающий у словия равновесия тел.
Из второго закона Ньютона следует, что если геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к невращающемуся телу, равна нулю, то тело находится в состоянии покоя или совершает равномерное прямолинейное движение. В этом случае принято говорить, что силы, приложенные к телу, уравновешивают друг друга. При вычислении равнодействующей все силы, действующие на тело, можно прикладывать к центру масс.
Чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю.
|
|
| Рисунок 1.14.1. Равновесие твердого тела под действием трех сил. При вычислении равнодействующей все силы приведены к одной точке C. |
На рис. 1.14.1 дан пример равновесия твердого тела под действием трех сил. Точка пересечения O линий действия сил 
и 
не совпадает с точкой приложения силы тяжести (центр масс C), но при равновесии эти точки обязательно находятся на одной вертикали. При вычислении равнодействующей все силы приводятся к одной точке.
Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия н едостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил.
Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между линией действия силы и осью вращения.
Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы.
Произведение модуля силы 
на плечо d называется моментом силы M. Положительными считаются моменты тех сил, которые стремятся повернуть тело против часовой стрелки (рис. 1.14.2).
Правило моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:
|
В Международной системе единиц (СИ) моменты сил измеряются в ньютон-метрах (Н∙м).
|
| Рисунок 1.14.2. Силы, действующие на рычаг, и их моменты. M1 = F1 · d1 > 0; M2 = – F2 · d2 < 0. При равновесии M1 + M2 = 0. |
В общем случае, когда тело может двигаться поступательно и вращаться, для равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю суммы всех моментов.
Оба эти условия не являются достаточными для покоя.
|
| Рисунок 1.14.3. Качение колеса по горизонтальной поверхности. Равнодействующая сила и момент сил равны нулю. |
Катящееся по горизонтальной поверхности колесо – пример безразличного равновесия (рис. 1.14.3). Если колесо остановить в любой точке, оно окажется в равновесном состоянии. Наряду с безразличным равновесием в механике различают устойчивые и неустойчивые состояния равновесия.
Состояние равновесия называется устойчивым, если при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесное состояние.
При малом отклонении тела из состояния неустойчивого равновесия возникают силы или моменты сил, стремящиеся удалить тело от положения равновесия.
Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в безразличном состоянии равновесия. Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, – пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 1.14.4).
|
| Рисунок 1.14.4. Различные типы равновесия шара на опоре. (1) – безразличное равновесие, (2) – неустойчивое равновесие, (3) – устойчивое равновесие. |
Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым. Если же центр масс расположен выше оси – состояние равновесия неустойчиво (рис. 1.14.5).
|
Рисунок 1.14.5.
Устойчивое (1) и неустойчивое (2) равновесие однородного круглого диска, закрепленного на оси O; точка C – центр массы диска;  – сила тяжести;  – упругая сила оси; d – плечо.
|
Особым случаем равновесия является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры, то есть внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается. Интересным примером равновесия тела на опоре является падающая башня в итальянском городе Пиза (рис. 1.14.6), которую по преданию использовал Галилей при изучении законов свободного падения тел. Башня имеет форму цилиндра высотой 55 м и радиусом 7 м. Вершина башни отклонена от вертикали на 4,5 м.
Вертикальная линия, проведенная через центр масс башни, пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра. Таким образом, башня находится в состоянии равновесия. Равновесие нарушится и башня упадет, когда отклонение ее вершины от вертикали достигнет 14 м. По-видимому, это произойдет очень нескоро.
|
| Рисунок 1.14.6. Падающая Пизанская башня. Точка C – центр масс, точка O – центр основания башни, CC' – вертикаль, проходящая через центр масс. |
Элементы гидростатики
Основным отличием жидкостей от твердых (упругих) тел является способность легко изменять свою форму. Части жидкости могут свободно сдвигаться, скользя друг относительно друга. Поэтому жидкость принимает форму сосуда, в который она налита. В жидкость, как и в газообразную среду, можно погружать твердые тела. В отличие от газов жидкости практически несжимаемы.
На тело, погруженное в жидкость или газ, действуют силы, распределенные по поверхности тела. Для описания таких распределенных сил вводится новая физическая величина – давление.
Давление определяется как отношение модуля силы 
действующей перпендикулярно поверхности, к площади S этой поверхности:
|
В системе СИ давление измеряется в паскалях (Па):
| 1 Па = 1 Н/м2. |
Часто используются внесистемные единицы: нормальная атмосфера (атм) и миллиметр ртутного столба (мм рт. ст.):
| 1 атм = 101325 Па = 760 мм Hg. |
Французский ученый Б. Паскаль в середине XVII века эмпирически установил закон, названный законом Паскаля:
| Давление в жидкости или газе передается во всех направлениях одинаково и не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует. |
Для иллюстрации закона Паскаля на рис. 1.15.1 изображена небольшая прямоугольная призма, погруженная в жидкость. Если предположить, что плотность материала призмы равна плотности жидкости, то призма должна находиться в жидкости в состоянии безразличного равновесия. Это означает, что силы давления, действующие на грани призмы, должны быть уравновешены. Это произойдет только в том случае, если давления, то есть силы, действующие на единицу поверхности каждой грани, одинаковы: p1 = p2 = p3 = p.
|
| Рисунок 1.15.1. Закон Паскаля: p1 = p2 = p3 = p. |
Давление жидкости на дно или боковые стенки сосуда зависит от высоты столба жидкости. Сила давления на дно цилиндрического сосуда высоты h и площади основания S равна весу столба жидкости mg, где m = ρhS – масса жидкости в сосуде, ρ – плотность жидкости. Следовательно
|
Такое же давление на глубине h в соответствии с законом Паскаля жидкость оказывает и на боковые стенки сосуда. Давление столба жидкости ρgh называют гидростатическим давлением.
Если жидкость находится в цилиндре под поршнем (рис. 1.15.2), то действуя на поршень некоторой внешней силой F, можно создавать в жидкости дополнительное давление p0 = F / S, где S – площадь поршня.
Таким образом, полное давление в жидкости на глубине h можно записать в виде:
| p = p0 + ρgh. |
Если на рис. 1.15.2 поршень убрать, то давление на поверхность жидкости будет равно атмосферному давлению: p0 = pатм.
|
| Рисунок 1.15.2. Зависимость давления от высоты столба жидкости. |
Из-за разности давлений в жидкости на разных уровнях возникает выталкивающая или архимедова сила 
Рис. 1.15.3 поясняет появление архимедовой силы. В жидкость погружено тело в виде прямоугольного параллелепипеда высотой h и площадью основания S. Разность давлений на нижнюю и верхнюю грани есть:
| Δp = p2 – p1 = ρgh. |
Поэтому выталкивающая сила 
будет направлена вверх, и ее модуль равен
| FА = F2 – F1 = SΔp = ρgSh = ρgV, |
где V – объем вытесненной телом жидкости, а ρV – ее масса.
Архимедова сила, действующая на погруженное в жидкость (или газ) тело, равна весу жидкости (или газа), вытесненной телом. Это утверждение, называемое законом Архимеда, справедливо для тел любой формы.
|
| Рисунок 1.15.3. Архимедова сила. FА = F2 – F1 = S(p2 – p1) = ρgSh, F1 = p1S, F2 = p2S. |
Из закона Архимеда вытекает, что если средняя плотность тела ρт больше плотности жидкости (или газа) ρ, тело будет опускаться на дно. Если же ρт < ρ, тело будет плавать на поверхности жидкости. Объем погруженной части тела будет таков, что вес вытесненной жидкости равен весу тела. Для подъема воздушного шара в воздухе его вес должен быть меньше веса вытесненного воздуха. Поэтому воздушные шары заполняют легкими газами (водородом, гелием) или нагретым воздухом.
Из выражения для полного давления в жидкости p = p0 + ρgh вытекает, что в сообщающихся сосудах любой формы, заполненных однородной жидкостью, давления в любой точке на одном и том же уровне одинаковы (рис. 1.15.4).
|
| Рисунок 1.15.4. Пример сообщающихся сосудов. В правом сосуде поверхность жидкости свободна. На уровне h давление в обоих сосудах одинаково и равно p0 = F / S = ρgh0 + pатм. Давление на дно сосудов p = p0 + ρgh. |
Если оба вертикально расположенных цилиндра сообщающихся сосудов закрыть поршнями, то с помощью внешних сил, приложенных к поршням, в жидкости можно создать большое давление p, во много раз превышающее гидростатическое давление ρgh в любой точке системы. Тогда можно считать, что во всей системе устанавливается одинаковое давление p. Если поршни имеют разные площади S1 и S2, то на них со стороны жидкости действуют разные силы F1 = pS1 и F2 = pS2. Такие же по модулю, но противоположно направленные внешние силы должны быть приложены к поршням для удержания системы в равновесии. Таким образом,
|
Если S2 >> S1, то F2 >> F1. Устройства такого рода называют гидравлическими машинами (рис. 1.15.5). Они позволяют получить значительный выигрыш в силе. Если поршень в узком цилиндре переместить вниз под действием внешней силы 
на расстояние 
то поршень в широком цилиндре переместится на расстояние 
поднимая тяжелый груз.
Таким образом, выигрыш в силе в 
раз обязательно сопровождается таким же проигрышем в расстоянии. При этом произведение силы на расстояние остается неизменным:
| F1h1 = F2h2. |
Это правило выполняется для любых идеальных машин, в которых не действуют силы трения. Оно называется «золотым правилом механики».
|
Рисунок 1.15.5.
Гидравлическая машина. 
|
Гидравлические машины, используемые для подъема грузов, называются домкратами. Они широко применяются также в качестве гидравлических прессов. В качестве жидкости обычно используются минеральные масла.