Типовые задачи с решениями и для самостоятельного решения
В данном разделе приведены типовые задачи на применение основных законов и теорем электромагнетизма, так как уравнения Максвелла, по сути, лишь обобщают их. В связи с этим рекомендуется перед решением задач по данному разделу повторить пройденный материал по темам, которые обобщают уравнения Максвелла (см. лекцию 17 «Основы электромагнитной теории Максвелла», табл. 1).
Типовые задачи с решениями
Задача 1. Проводящее кольцо радиуса r=0,1 м и сопротивлением R=10 Ом находится в магнитном поле с индукцией В=1 млТл. Определить количество электричества при повороте плоскости кольца на угол 30◦ от положения, в котором плоскость кольца перпендикулярна вектору магнитной индукции.
| Дано: r=0,1 м R=10 Ом В=1 млТл α1=0◦ α2=30◦ | СИ 10-3 Тл |
| q -? |
Решение
Так как при повороте кольца изменяется магнитный поток сквозь плоскость кольца, то в кольце возникает ЭДС индукции и индукционный ток. Применим закон электромагнитной индукции Фарадея
.
. Подставляя в формулу все величины в системе СИ, получим
.
Ответ: 
Задача 2. В обмотке длинного соленоида радиусом R изменяется ток так, что магнитная индукция внутри соленоида изменяется во времени по закону В=At2+Ct. Определить плотность тока смещения внутри соленоида (r<R).
Решение
, в данном случае 
. Зная связь Е и В (первое уравнение Максвелла 
) найдем и плотность тока смещения.
, тогда из имеем: 
(r<R), 
. 
.
Ответ: 
, r<R.
Задача 3. В тороиде радиусом r (по средней линии) с N витками протекает ток I. Считая магнитную проницаемость материала сердечника тороида µ, определить величину индукции магнитного поля В в сердечнике и энергию магнитного поля тороида.
Решение
В соответствии с законом полного тока 
имеем 
. Так как магнитная индукция и напряженность магнитного поля связаны по формуле 
, то 
. Энергия определяется как объемная плотность энергии магнитного поля на объем сердечника 
.
Ответ: , 
.
Задача 4. Для предыдущей задачи определить объемную плотность энергии магнитного поля, считая радиус витка тороида R.
Решение
Считая площадь одного витка тороида равной S, имеем
.
Ответ: 
Задача 5. В однородном магнитном поле с индукцией В движется прямой провод длиной l со скоростью v. Вектор скорости провода перпендикулярен вектору магнитной индукции поля. Концы провода замкнуты вне поля. Сопротивление данного контура R. Определить мощность источника, необходимую для движения провода с указанной скоростью.
Решение
При движении провода провод в каждый момент времени описывает поверхность (прямоугольник) со сторонами vdt и l, откуда по закону электромагнитной индукции Фарадея 
. В общем случае эта формула 
. По условию задачи 
. Мощность 
.
Ответ: 
Типовые задачи для самостоятельного решения
1. Если прямоугольную рамку площадью S, расположенную в однородном поле с индукцией 
так, что ее плоскость перпендикулярна полю (рис.а), повернуть на 180° (рис.б), Найти изменение магнитного потока через рамку.
2. При изменении магнитного потока (рис.), пронизывающего замкнутый контур сопротивлением R=10 Ом, найти на каком участке ЭДС индукции будет максимальна и определить максимальную силу индукционного тока, возникающего в контуре.
3. Замкнутый проводник в виде квадрата общей длиной L и сопротивлением R расположен в горизонтальной плоскости. Проводник находится в вертикальном магнитном поле с индукцией В. Какое количество электричества q протечет по проводнику, если, потянув за противоположные углы квадрата, сложить проводники линию?
4. Определить ЭДС индукции для случая, изображенного на рисунке, считая известными ЭДС источника ε, индукцию магнитного поля В, ток в контуре I, сопротивление контура R.
Примечание: решение проводить с использованием закона сохранения энергии, считая, что вся энергия источника идет на нагрев проводника и на его перемещение в магнитном поле (на работу сил магнитного поля).
5. Найти циркуляцию вектора напряженности вдоль окружности радиусом R, проходящей внутри проводника и ориентированной так, что ее плоскость составляет угол 
с вектором плотности тока j, равномерно распределенным по сечению проводника.
6. Определить магнитный поток Ф сквозь плоскую квадратную рамку со стороной а, лежащую в одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом с током I. Ближайшая к проводу сторона рамки параллельна ему и находится на расстоянии a от провода.
7. В соленоиде длиной l содержится N витков. По соленоиду протекает ток I. Считая магнитную проницаемость материала сердечника соленоида µ, определить величину индукции магнитного поля В в сердечнике и энергию магнитного поля соленоида.
8. Для предыдущей задачи определить объемную плотность энергии магнитного поля, считая радиус витка соленоида R.
9. Соленоид без сердечника длиной l с числом витков N имеет радиус витка r. К соленоиду приложено напряжение U. За время τ в обмотке выделяется теплота (энергия), равная энергии магнитного поля в сердечнике. Определить силу тока, протекающего в соленоиде. (
)
10. В однородном магнитном поле с индукцией В равномерно вращается с частотой n рамка, содержащая N витков площадью S. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную ЭДС индукции, возникающую в рамке. Выбрать рисунок, верно описывающий изменение индукционного тока в рамке.
