Лекция № 3
Интегральное исчисление
Интегрирование простейших функций
Одной из главных задач дифференционального исчисления является задача нахождение скорости изменения какой-либо функции, т.е. задача нахождения производной. На практике часто приходится решать обратную задачу: зная скорость изменения функции, найти эту функцию; эта задача называется интегрированием.
Функция F называется первообразной для функции ƒ на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка существует производная F'(х), равная ƒ(х), т.е. F'(х)= ƒ(х).
Например. Найти первообразную для функции ƒ (х)= х³.
Решение. Функция F'(x)= x4⁄4есть первообразная для функции ƒ (х)= х³на промежутке (−∞;+∞), так как F' (х)=(x4 ⁄4)' = ¼ (х4)' = ¼ × 4 х³ = х³.
Теорема 1.Если F(х) – первообразная для ƒ(х) на некотором промежутке, то сумма F(х)+с, где С= const, тоже является первообразной для ƒ (х) на этом промежутке,
(F(х)+с)'= (F(х))'+с' = ƒ (х)+ 0= ƒ (х)
Множество первообразных для данной функции ƒ(х) называется неопределённым интегралом и обозначается следующим образом:
∫ ƒ(х)dx = F(х)+С
ƒ(х) – подынтегральная функция,
ƒ(х)dx – подынтегральное выражение,
х- переменная интегрированная,
С- постоянная интегрированная,
F(х)-какая нибудь первообразная от функции ƒ(х).
Например, ∫ 2хdx = х²+ с
Операция нахождения неопределённого интеграла называется интегрированием функции.
Правила интегрирования
1) Для получения неопределённого интеграла от данной функции ƒ(х)необходимо найти одну из её первообразных и прибавить к ней произвольную постоянную.
2) Для проверки правильности полученного результата необходимо помнить, что производная от результата интегрирования должна равняться подынтегральной функции.
Основные свойства неопределённого интеграла
Свойство1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал – подынтегральному выражению:
(∫ ƒ(х)dx)' = ƒ(х); d ∫ ƒ(х)dx = ƒ(х)dx.
Свойство 2. Неопределённый интеграл от производной (дифференциала) функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:
∫ F'(х)dx = F'(х) + с или ∫ dF(x) =F(x)+ с.
Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
∫ af(x)dx = a∫ f(x)dx, где а = соnst, а ≠ 0.
Свойство 4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов:
∫ (ƒ(x)+y(x) –g(x))dx = ∫ ƒ(x)dx + ∫ y(x)dx – ∫ g(x)dx.
Основные формулы интегрирования
Вычисление определённых интегралов. Методы интегрирования
3.1. Непосредственное интегрирование
Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.
Например,
∫ (4х³ − 15х² +14х−3)dx = ∫ 4x³dx − ∫ 15x²dx + ∫ 14xdx − ∫ 3dx = 4 x4 /4 − 15 x³/3 + 14 x²/2 − 3x + c = = x4 − 5x³ + 7x ²− 3x + C;
∫(х2+1)2dx=∫(х4+2х2+1)dx=∫х4dx+2∫x2dx+∫dx=x5/5+2x3/3+x+C;
.
3.2. Интегрирование способом подстановки
При интегрировании подстановкой вводится новая переменная с таким расчётом, чтобы получить один из табличных интегралов. Найдя интеграл по новой переменной, надо возвратиться к первоначальной переменной и дать окончательный ответ.
Указать общее правило для выбора подстановки нельзя, так как этот выбор в каждом отдельном случае зависит от вида подынтегральной функции.
Например, найти следующие интегралы:
1 
.
Решение. Применим подстановку 
, где t – новое переменное. Продифференцируем обе части равенства:
или 
.
Теперь можно записать
= 
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, получим окончательно:
= 
Приступая к интегрированию рациональных функций, следует посмотреть, нельзя ли подынтегральную функцию привести к такому виду, чтобы в числителе была производная от знаменателя, тогда можно будет сразу записать ответ.
2 
.
Решение. Находим производную знаменателя: 
. Сравнивая это выражение с числителем, замечаем, что там нет сомножителя 12. Если умножить числитель дроби на 12, а за знак интеграла вынести сомножитель 1/12, то получим:
3 
Решение. Полагаем 5х=t, тогда 5dx = dt и dx =1/5dt;
4 
Решение. Положим sinx=t, тогда cosxdx=dt;
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям производится по формуле:
,