Числовые характеристики дискретной случайной величины




Лекция № 10

Исчерпывающей характеристикой случайной величины является её закон распределения. Однако далеко не в каждой задаче нужно знать весь закон распределения. В ряде случаев можно обойтись одним или несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения. Такого рода числа называют числовыми характеристиками случайной величины (или закона распределения). К ним относят математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности:

, где (1)

х – значения случайных величин;

р – вероятности возможных значений случайных величин.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(С) = С (2)

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = СМ(Х) (3)

Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

М(Х1Х2…Хn) = М(Х1)М(Х2)…М(Хn) (4)

Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х12+…+Хn) = М(Х1) + М(Х2) +…+ М(Хn) (5)

Математическое ожидание биноминального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

М(Х) = np (6)

Пример 1 Найти математическое ожидание дискретной случайной величины,заданной законом распределения:

х -4    
р 0,2 0,3 0,5

 

Решение. Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности (формула (1)):

 

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(X) = M(X - M(X))2 (7)

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

D(X) = M(X2) – (M(X))2 (8)

Дисперсия обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Дисперсия постоянной равна нулю:

D(C) = 0 (9)

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

D(CX) = C2D(X) (10)

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дсперсий слагаемых:

D(X1+X2+…+Xn) = D(X1)+D(X2)+…D(Xn) (11)

Дисперсия биноминального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(X) = npq (11)

Средним квадратичным отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

(12)

Х -5      
Р 0,4 0,3 0,1 0,2

Пример 2 Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

 

 

Решение.

Дисперсию вычислим исходя из определения, воспользовавшись формулой (8)

D(X) = M(X2) – (M(X))2.

Найдём математическое ожидание Х:

.

Напишем закон распределения для Х2:

Х2        
Р 0,4 0,3 0,1 0,2

 

Найдём математическое ожидание Х2:

.

Найдём искомую дисперсию:

D(X) = 15,3 – (-0,3)2 = 15,21.

Найдём искомое среднее квадратичное отклонение по формуле (12):

.




Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-07 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: