Лекция № 10
Исчерпывающей характеристикой случайной величины является её закон распределения. Однако далеко не в каждой задаче нужно знать весь закон распределения. В ряде случаев можно обойтись одним или несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения. Такого рода числа называют числовыми характеристиками случайной величины (или закона распределения). К ним относят математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности:
, где (1)
х – значения случайных величин;
р – вероятности возможных значений случайных величин.
Математическое ожидание обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
М(С) = С (2)
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ) = СМ(Х) (3)
Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
М(Х1Х2…Хn) = М(Х1)М(Х2)…М(Хn) (4)
Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М(Х1+Х2+…+Хn) = М(Х1) + М(Х2) +…+ М(Хn) (5)
Математическое ожидание биноминального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:
М(Х) = np (6)
Пример 1 Найти математическое ожидание дискретной случайной величины,заданной законом распределения:
х | -4 | ||
р | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Решение. Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности (формула (1)):
Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
D(X) = M(X - M(X))2 (7)
Дисперсию удобно вычислять по формуле:
D(X) = M(X2) – (M(X))2 (8)
Дисперсия обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Дисперсия постоянной равна нулю:
D(C) = 0 (9)
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:
D(CX) = C2D(X) (10)
Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дсперсий слагаемых:
D(X1+X2+…+Xn) = D(X1)+D(X2)+…D(Xn) (11)
Дисперсия биноминального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:
D(X) = npq (11)
Средним квадратичным отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:
(12)
Х | -5 | |||
Р | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Пример 2 Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
Решение.
Дисперсию вычислим исходя из определения, воспользовавшись формулой (8)
D(X) = M(X2) – (M(X))2.
Найдём математическое ожидание Х:
.
Напишем закон распределения для Х2:
Х2 | ||||
Р | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Найдём математическое ожидание Х2:
.
Найдём искомую дисперсию:
D(X) = 15,3 – (-0,3)2 = 15,21.
Найдём искомое среднее квадратичное отклонение по формуле (12):
.