Определение 7. Уравнение вида 
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Это уравнение можно привести к виду 
, разделив все члены уравнения на произведение 
.
Например, решить уравнение 
Решение. Производная равна 
, значит 
Разделяя переменные, получим:
.
Теперь интегрируем:
Решите дифференциальное уравнение 
Решение. Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Для разделения переменных этого уравнения в виде 
и разделим его почленно на произведение 
. В результате получим 
или
интегрируя обе части последнего уравнения, получим общее решение
аrcsin y = arcsin x + C
Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
. Подставляя в общее решение начальные условия, получим
; откуда C=0
Следовательно, частное решение имеет вид arc sin y=arc sin x, но синусы равных дуг равны между собой
sin (arcsin y) = sin (arcsin x).
Откуда, по определению арксинуса, следует, что y = x.
Однородные дифференциальные уравнения
Определение 8. Дифференциальное уравнение вида, которое можно привести к виду 
, называется однородным.
Для интегрирования таких уравнений производят замену переменных, полагая 
. Эта подстановка приводит к дифференциальному уравнению относительно x и t, в котором переменные разделяются, после чего уравнение можно интегрировать. Для получения окончательного ответа надо переменную t заменить на 
.
Например, решить уравнение 
Решение. Перепишем уравнение так:
получим: 
После сокращения на х2 имеем:
Заменим t на :
Вопросы для повторения
1 Какое уравнение называется дифференциальным?
2 Назовите виды дифференциальных уравнений.
3 Рассказать алгоритмы решения всех названных уравнений.
Пример 3
Решить дифференциальное уравнение 
Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:
Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:
И перекидываем множители по правилу пропорции:
Переменные разделены, интегрируем обе части:
Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы, прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.
Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году:
В правой части у нас получился логарифм, согласно моей первой технической рекомендации, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом.
Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. Максимально «упаковываем» логарифмы. Упаковка проводится с помощью трёх свойств:
Пожалуйста, перепишите эти три формулы к себе в рабочую тетрадь, при решении диффуров они применяются очень часто.
Решение распишу очень подробно:
Упаковка завершена, убираем логарифмы:
Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части. Но делать этого не нужно.
Третий технический совет: Если для получения общего решения нужно возводить в степень или извлекать корни, то в большинстве случаев следует воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, что общее решение будет смотреться вычурно и ужасно – с большими корнями, знаками 
.
Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить общий интеграл в виде 
, то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора;-)
Ответ: общий интеграл: 
Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.
Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производные от функции, заданной неявно. Дифференцируем ответ:
Умножаем оба слагаемых на 
:
И делим на 
:
Получено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно.
Пример 4
Найти частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее начальному условию 
. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что задача Коши состоит из двух этапов:
1) Нахождение общего решение.
2) Нахождение частного решения.
Проверка тоже проводится в два этапа (см. также образец Примера 2), нужно:
1) Убедиться, что найденное частное решение действительно удовлетворяет начальному условию.
2) Проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.
Полное решение и ответ в конце урока.
Пример 5
Найти частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее начальному условию 
. Выполнить проверку.
Решение: Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы 
и 
, а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:
Интегрируем уравнение:
Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала:
Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы:
(Надеюсь, всем понятно преобразование 
, такие вещи надо бы уже знать)
Итак, общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
Более привычное оформление: 
Подставляем найденное значение константы 
в общее решение.
Ответ: частное решение: 
Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :
– всё гуд.
Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение дифференциальному уравнению. Находим производную:
Смотрим на исходное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал :
Подставим найденное частное решение и полученный дифференциал 
в исходное уравнение :
Используем основное логарифмическое тождество 
:
Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.
Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения выразим производную, для этого разделим все штуки на :
И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение и найденную производную 
. В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.
Пример 6
Решить дифференциальное уравнение 
. Ответ представить в виде общего интеграла .
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?
1) Не всегда очевидно (особенно, чайнику), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: 
. Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: 
и отделить корни: 
. Как действовать дальше – понятно.
2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла, то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то пусть интегралы будут посложнее».
3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно делать практически всё, что угодно. И не всегда такие преобразования понятны новичку. Рассмотрим еще один условный пример: 
. В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: 
. Полученная константа 
– это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через 
: 
. Да, и коль скоро в правой части логарифм, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: 
.
Беда же состоит в том, что частенько не заморачиваются с индексами, и используют одну и ту же букву 
. И в результате запись решения принимает следующий вид:
Что за фигня? Тут же ошибки. Формально – да. А неформально – ошибки нет, подразумевается, что при преобразовании константы всё равно получается какая-то другая константа .
Или такой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл 
. Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому целесообразно сменить у всех множителей знаки: 
. Формально по записи тут опять ошибка, следовало бы записать 
. Но неформально подразумевается, что – это всё равно какая-то другая константа (тем более может принимать любое значение), поэтому смена у константы знака не имеет никакого смысла и можно использовать одну и ту же букву .
Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании.
Пример 7
Решить дифференциальное уравнение 
. Выполнить проверку.
Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Интегрируем:
Константу тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.
Ответ: общий интеграл: 
Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию):
Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на 
:
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.
Пример 8
Найти частное решение ДУ.
, 
Это пример для самостоятельного решения. Единственный комментарий, здесь получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не частное решение, а частный интеграл. Полное решение и ответ в конце урока.
Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот еще парочка таких примеров для самостоятельного решения. Рекомендую всем прорешать примеры №№9-10, независимо от уровня подготовки, это позволит актуализировать навыки нахождения интегралов или восполнить пробелы в знаниях.
Пример 9
Решить дифференциальное уравнение 
Пример 10
Решить дифференциальное уравнение 
Помните, что общий интеграл можно записать не единственным способом, и внешний вид ваших ответов может отличаться от внешнего вида моих ответов. Краткий ход решения и ответы в конце урока.
Следующая рекомендуемая статья – Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Успешного продвижения!
Решения и ответы:
Пример 4: Решение: Найдем общее решение. Разделяем переменные:
Интегрируем:
Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:
Выражаем функцию в явном виде, используя 
.
Общее решение: 
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»:
.
Способ второй:
Подставляем найденное значение константы в общее решение.
Ответ: частное решение: 
Проверка: Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие:
, да, начальное условие выполнено.
Проверяем, удовлетворяет ли вообще частное решение дифференциальному уравнению. Сначала находим производную:
Подставим полученное частное решение 
и найденную производную 
в исходное уравнение :
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.
Пример 6: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Ответ: общий интеграл: 
Примечание: тут можно получить и общее решение:
Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно хреново.
Пример 8: Решение: Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Интегрируем:
Общий интеграл: 
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию . Подставляем в общее решение 
и 
:
Ответ: Частный интеграл: 
В принципе, ответ можно попричесывать и получить что-нибудь более компактное.
Пример 9: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Левую часть интегрируем по частям:
В интеграле правой части проведем замену:
Таким образом:
(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов, но она настолько простая, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно)
Обратная замена: 
Ответ: общий интеграл: 
Пример 10: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Примечание: Интеграл 
можно было также найти методом выделения полного квадрата.
Ответ: общее решение: 
Примеры: 1. 
.
При такой форме записи общего интеграла решение y = 1 потеряно. Можно преобразовать общее решение к виду, который содержит это решение. Переобозначим постоянную C как ln| C 1|: 
. Вернёмся к обозначению постоянной интегрирования C; общее решение 
содержит частное решение y = 1 при C = 0.
2. Найти решение задачи Коши 
Решаем уравнение: 
. Здесь могут быть потеряны решения 
постоянная интегрирования записана как 
. Далее, 
. Общий интеграл уравнения
y 2 = C (x 2 – 1) + 1. Частные решения 
содержатся в общем интеграле при C = 0, решения 
утеряны (понятно, почему это произошло: если записать уравнение в форме, решённой относительно производной, 
, то, очевидно, на решениях нарушаются условия, налагаемые теоремой Коши на правую часть уравнения). Всё множество решений: y 2 = C (x 2 – 1) + 1, x = 1, x = -1. Мы должны найти ещё частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (1) = 5. Подстановка значений x = 1, y = 5 в общий интеграл даёт 25=1, т.е. общий интеграл этого частного решения не содержит. Решение x = 1 удовлетворяет начальному условию, это и есть решение задачи Коши.
К уравнениям с разделяющимися переменными сводятся уравнения вида 
(
- постоянные). Если перейти к новой неизвестной функции z = ax + by + c, то 
, и уравнение представляется как 
. Это - уравнение с разделяющимися переменными.
Пример: 
. 
