ПИ-теорема
Впервые доказательство Пи-теоремы было опубликовано в 1912 г. в трудах аэродинамического института, возглавляемого русским ученым Н.К.Жуковским.
Пи-теорема формулируется следующим образом: всякое уравнение, связывающее между собой N физических величин, среди которых к величин обладают независимыми размерностями, может быть преобразовано в уравнение, связывающему N-к безразмерных комплексов и симплексов (отношение двух одноименных величин) составленных из этих величин.
Согласно Пи-теореме, из N размерных величин, связанных физическим уравнением, можно составить не более N-к независимых безразмерных комплексов и симплексов. Доказательства теоремы или ее пояснение не приводим, ввиду их громоздкости.
Теоремы подобия
Основные положения теории подобия формулируют в виде трех теорем.
Первая теорема подобия устанавливает связь между константами подобия и позволяет выявить критерии подобия. В общей форме эту теорему формулируют так: подобные между собой процессы имеют одинаковые критерии подобия.
Например, для первого процесса имеем критерии
Аналогично для второго процесса имеем
Для подобных явлений должно соблюдаться равенство одноименных критериев подобия
Вторая теорема подобия устанавливает возможность представления интеграла как функции от критериев подобия дифференциального уравнения. На основании этой теоремы любая зависимость между переменными, характеризующими какое-либо явление 
, может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия
Зависимость такого типа называется обобщенным или критериальным уравнением. Так как для всех подобных между собой явлений критерии подобия сохраняют одно и то же значение, то и критериальные зависимости для них одинаковы. Следовательно, представляя результаты какого-либо опыта в критериях подобия, мы получим обобщенную зависимость, которая справедлива для всех подобных между собой явлений. Помимо критериев подобия в критериальные уравнения могут входить также симплексы – безразмерные отношения однородных физических величин.
Третья теорема подобия устанавливает условия, достаточные и необходимые для того, чтобы процессы были подобны. Подобны те процессы, условия однозначности которых подобны, и критерии, составленные из условий однозначности, численно одинаковы.
Задача исследования какого-либо физического процесса по существу может считаться ращенной, если найдены функции, описывающие поля всех характерных для рассматриваемого процесса физических переменных. Однако, пользуясь одними только законами физики, невозможно без промежуточных математических операций описать протекание рассматриваемого процесса в любой момент времени во всем изучаемом пространстве. В связи с этим изучение процесса производится вначале не во всем пространстве, которое охвачено исследуемым процессом, и не за конечный промежуток времени, а в произвольно выделенной «материальной точке» и в течение элементарного промежутка времени. При этом материальная точка должна представлять собой объем, размеры которого настолько малы по сравнению с размерами всего изучаемого пространства или объема, что они могут рассматриваться как дифференциалы длины dx, dy, dz, т.е. материальная точка представляет собой элементарный параллелепипед, являясь «микрокосмосом» по отношению ко всему изучаемому пространству, и в то же время должен быть «макрокосмосом» по отношению к молекулам. Это означает, что число молекул, находящееся в параллелепипеде, должно быть очень велико, а размеры dx, dy, dz должны быть достаточно велики по сравнению с молекулярными расстояниями.
Эти требования обычно легко удовлетворяются. Элементарный промежуток времени также должен быть достаточно малым, чтобы можно было считать, что на его протяжении в пределах материальной точки находятся одни и те же молекулы. Этому требованию удовлетворяет промежуток времени, равный дифференциалу dt.
Таким образом, промежуток времени dt и объем 
, в пределах которых рассматривается изучаемый процесс, являясь математической точки зрения физики величины, достаточно большие (что позволяет среду, в которой протекает физический процесс, рассматривать как континуум).
Выбрав, таким образом, в качестве объекта первоначального исследования элементарный объем, формулируют для него соответствующие законы или принципы физики. В результате получается одно или система дифференциальных уравнений математической физики, которые устанавливают взаимосвязь между пространственно-временными изменениями всех физических переменных. Эта система уравнений описывает все без исключения явления одного класса независимо от геометрической конфигурации изучаемого тела, а также независимо от физических свойств и условий его взаимодействия с окружающей средой.
Чтобы из целого класса выделить единичный процесс, определить его однозначно, необходимо к дифференциальным уравнениям присоединить математическое описание всех частных особенностей, которые называются условиями однозначности. Эти условия определяются заданием:
1) геометрических условий, характеризующих форму и размеры тела, в котором протекает процесс;
2) физических условий, характеризующих физические свойства среды и тела;
3) граничных условий, характеризующих особенности протекания процесса на границах тела;
4) временных условий, характеризующих особенности протекания процесса во времени.
Условия 3) и 4) называют еще краевыми условиями.
Условия однозначности могут быть заданы в виде числового значения или в виде дифференциального уравнения.
После приведения дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий к безразмерному виду и задания численных значений безразмерных параметров получают систему уравнений, которые охватывают уже не единичные процессы, а целую группу процессов.
ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Общие сведения.
Как указывалось во введении, при разработке месторождений полезных ископаемых и строительстве подземных сооружений возникают сложные инженерные задачи, связанные с напряженно-деформированным состоянием массива горных пород и проявлением различных физических процессов – давление горных пород, горные удары, выбросы и т.д. Физическая сущность указанных процессов еще недостаточно изучена, а математическое описание процессов в обобщенном виде в большинстве случаев отсутствует. В этом случае на основании теории размерности с использованием Пи-теоремы составляются уравнения связей, и подготавливается модель для проведения экспериментов.
В простейшем случае модель воспроизводит изучаемое явление с сохранением физической природы и геометрического подобия, а отличается от оригинала (натуры) лишь размерами одноименных параметров и скоростью протекания исследуемого процесса. В некоторых случаях значительно проще, удобнее и рациональнее модель изготавливать из среды, отличной по своей физической природе от оригинала (натуры). Однако и здесь модель изготовляют с соблюдением условий подобия. В этом случае изучение какого-либо явления в оригинале заменяется изучением аналогичного явления на модели. Например, вместо исследования явления конвективного теплообмена в натуре исследуют на модели процесс диффузии или наоборот. По мере накопления данных о закономерностях процесса в дальнейшем составляются уже достаточно обоснованные уравнения связей, которые в критериальной форме используют для практических расчетов процесса в натуре.
Метод моделирования базируется на теории подобия. Однако в то время как теория подобия изучает свойства заведомо подобные системы, учение о моделировании призвано решать прикладную задачу, а именно: установить, каким требованиям должна удовлетворять модель, чтобы процессы, происходящие в ней, были подобны процессам, происходящим в натуре.
В разработке теории подобия и моделирования первенство принадлежит русским ученым. Если заграничная практика дала сравнительно небольшое число разрозненных, относящихся к частным вопросам теории подобия, то русские ученые разработали общую теорию подобия, создав тем самым предпосылки, необходимые для построения учения о моделировании. Так, еще в 1907 г. М.В. Кирпичев дал блестящее изложение основ подобия. Уже в 1922 г. акад. Н.Н.Павловский опубликовал теорию электрогидродинамических аналогий. В 1924 г. М.В.Кирпичев начал экспериментальные исследования в области моделирования сначала тепловых, а затем и некоторых других явлений. Следует также указать на метод электрических аналогий, разработанный Л.И.Гу-тенмахером на основе развитой им теории С.А.Гершгорина.
Одной из первых попыток моделирования на физических моделях механических явлений в массиве горных пород являются исследования М.Файоля. В дальнейшем были разработаны теоретические основы и инженерные методы расчета физических моделей метода эквивалентных материалов проф. Г.Н.Ку-знецовым, метода центробежного моделирования проф. Г.И.Покровским. Значительно развит и усовершенствован метод фотоупругости проф. В.Ф.Трум-бачевым. Предложены и разработаны теоретические основы гидроинтегратора д-ром т.н. В.С.Лукьяновым.
Основоположником моделирования в горном деле по праву следует считать проф. М.М.Протодьякова.
Правила моделирования.
Выше указывалось, что вследствие трудностей математического характера аналитическое решение значительного числа практических задач с краевыми условиями либо вовсе невыполнимо, либо требует для своего выполнения введения упрощающих допущений. Последнее часто в значительной мере снижают практическую ценность теоретического решения. Поэтому при решении значительного числа задач приходится прибегать к эксперименту. Однако результаты единичного опыта, вообще говоря, не могут быть непосредственно распространенными на случаи, для которых краевые условия и значения физических параметров полностью не совпадают с теми, которые имели место при экспериментальном исследовании. Такая ограниченность области применения результатов экспериментального исследования выдвигает вопрос о возможности обобщения опытных данных. Эту возможность открывает метод моделирования, позволяющий распространить результаты единичного опыта по изучению какого-либо процесса на целую группу процессов, подобных исследуемому.
На основании теории подобия было указано, что единичный процесс может быть однозначно выделен из целого класса путем присоединения к дифференциальным уравнениям, описывающим рассматриваемый класс процессов, краевых условий и задание значений физических параметров, входящих в дифференциальные уравнения, начальные и граничные условия. Но после приведения дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий к безразмерному виду и задания численных безразмерных параметров получают систему уравнений, охватывающую группу процессов. Поэтому, если два процесса протекают в геометрически подобных системах и при этом безразмерные дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия, описывающие оба явления, тождественно одинаковы, то рассматриваемые процессы подобны и результаты исследования одного из них могут быть распространены на второе.
На основании сказанного представляется возможным дать следующую формулировку правил моделирования.
Для того чтобы процесс в модели был подобен процессам в натуре, необходимо и достаточно выполнить следующие требования:
1) модель должна быть геометрически подобна образцу;
2) процессы в модели и образце должны принадлежать к одному классу и описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями;
3) начальные и граничные условия в модели должны быть реализованы таким образом, чтобы безразмерные начальные и граничные условия модели тождественно совпадали с такими же условиями в натуре;
4) одноименные безразмерные параметры, входящие в дифференциальные уравнения, начальные и граничные условия, в модели и в натуре должны быть соответственно равны.
Изложенные правила моделирования относятся к случаю, когда процессы
в модели и в натуре принадлежат к одному и тому же классу. Эти правила могут быть легко распространены на случай, когда процессы, протекающие в них, удовлетворяют определению аналогии. В этом случае условие 4) должно содержать равенство не только одноименных, а и аналогичных безразмерных параметров. Так, например, если рассматривается аналогия между процессами теплопроводности и диффузии, то аналогичными будут коэффициент диффузии с и коэффициент теплопроводности l, играющие одинаковую роль в физических уравнениях. Следовательно, правило собственно моделирования является частным случаем более общего правила аналогии.
Сделаем некоторые замечания относительно реализации краевых условий при моделировании. Все краевые условия по признаку их реализации можно разделить на две категории: управляемые и неуправляемые. Первые могут быть реализованы по желанию экспериментатора; вторые же реализуются независимо от исследователя в силу самой природы физического явления.
Например, для стационарного процесса конвективного теплообмена при течении жидкости в трубе краевые условия могут быть сформулированы следующим образом:
1) во входном сечении трубы имеется вполне определенное распределение скоростей и температур;
2) в какой-либо точке потока имеется определенное давление;
3) на границе раздела потока и трубы скорость жидкости равна нулю, температуры жидкости и трубы равны друг другу, а также равны друг другу тепловые потоки, входящие в трубу и выходящие из жидкости.
Нетрудно видеть, что из перечисленных граничных условий, условия 1) и 2) являются управляемые и их выполнение зависит от желания исследователя. Условия же 3) имеет место всегда и не зависит от исследователя. Что же касается начальных условий, то они всегда являются управляемыми.
Для того, чтобы безразмерные неуправляемые краевые условия в модели и натуре были тождественно одинаковыми, достаточно осуществить равенство безразмерных одноименных параметров, входящие в соответствующие краевые условия модели и натуры.
Управляемые краевые условия должны быть заданы на протяжении всех пространственных границ исследуемого процесса. Поэтому, прежде чем приступить к моделированию, необходимо сформулировать управляемые условия для натуры и выбирать их таким образом, чтобы они были достаточно хорошо известны.