Обобщение закона больших чисел (закон больших чисел в форме Чебышева)




Модуль 4

Лекция 22.Последовательность случайных величин

 

Виды сходимости последовательности случайных величин.

Закон больших чисел

Центральная предельная теорема

 

Программные положения

В лекции затрагивается одна из центральных вопросов теории вероятностей, имеющих крайне важное значение в приложениях: анализ суммы случайных величин. Закон больших чисел лежит в основе теории оценивания параметра в статистике. Тема лекции является сложной и идеологически и технически, поэтому все утверждения даются без доказательств, от студентов ожидается понимание лишь общей концепции.

 

Методические рекомендации

Пред изучением материала лекции повторите понятия последовательности, ряда, особое внимание уделите функциональным последовательностям и рядам (Лекция 16). Также повторите формулировки предельных теорем (Лекция 19) и описание нормального (и стандартного нормального) распределения.

 

 

Вопросы для самоконтроля

1) Что такое функциональная последовательность?

2) Дайте характеристику нормального распределения случайной величины

3) Что такое последовательность случайных величин?

4) Сформулируйте закон больших чисел

5) Сформулируйте центральную предельную теорему

 

Литература

А.В.Дорофеева «Высшая математика» Глава 13, § 13.11

А.Н.Кричевец, Е.В.Шикин, А.Г.Дьячков «Математика для психологов» Глава 7, §7.1. – 7.3., Глава 8 §8.1. – 8.3.

А.Н.Бородин «Краткий курс теории вероятностей» Часть 1, главы 16,17

Дополнительно
Б.В.Гнеденко «Курс теории вероятностей» Главы 6, 8

В.Феллер Том 1 Глава 10

 

Виды сходимости случайных величин

 

Пусть {Хn, n ≥ 1} = Х1, Х2,…, Хn,… – последовательность случайных величин

Определение 22.1. Случайные величины Х1, Х2,…, Хn,… сходятся при n →∞ к случайной величине Х

 

С вероятностью 1, если Р{ω: Xn (ω) → X(ω)} = 1

 

в среднеквадратичном, если Е (Xn − X)2 → 0

 

по вероятности, если для любого ε > 0 Р(|Xn − X| <ε) → 1

 

по распределению, если функции распределения случайных величин FXn сходятся к FX

 

Замечание 22.1.. Из сходимости в среднем квадратичном следует сходимость по вероятности

Из сходимости по вероятности следует сходимость по распределению

Из сходимости с вероятностью 1 следует сходимость по вероятности.

 

Отступление. Сходимость последовательности (более подробно см Лекцию 16)

Последовательность функций Х1 (ω), Х2 (ω),…, Хn (ω) сходится на пространстве Ω к некоторому Х, если при любом фиксированном ω числовая последовательность {Хn } сходится к Х(ω).

Число a называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого положительного числа ε, как бы мало оно ни было, существует такой номерN, что для всех an c номерами n>N справедливо неравенство a-ε <an<a+ ε. Неравенство | an-a| < ε. эквивалентное неравенству a-ε <an<a+ ε, означает, что для любого ε.>0 существует такой номерN, что все an номерами n>N расположены между a-ε и a+ ε. Последовательность an, предел которой - конечное число a, называется сходящейся, и ее предел обозначают lim an = a при n®∞. Если изобразить элементы последовательности an на плоскости точками с координатами (n, an), то неравенства a-ε < an<a+ ε означают, что все точки (n, an) с номерами n>N расположены между параллельными оси абсцисс прямыми a-ε и a+ ε.

 

 

Закон больших чисел

Пусть у нас имеется случайная величина Х с математическим ожиданием а и дисперсией σ2. Проведем n независимых опытов, находя значения Х, и рассмотрим среднее арифметическое всех наблюденных значений Х. Рассмотрим значение математического ожидания и дисперсии этой величины. Пусть Х - значение Х 1в первом эксперименте, Х2 - во втором,…, Хn – в n, и т.д. Соответственно, Х1, Х2,…, Хn,… - это последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин (Термин «одинаково распределенные» означает, что величины имеют общее распределение (и, соответственно, совпадают их математические ожидания, дисперсии и пр.), которое не обязательно должно быть указано). По свойствам математического ожидания и дисперсии математическое ожидание среднего арифметического 1 + Х2 +… + Хn) / n будет равно а, а дисперсия σ2/n. То есть, математическое ожидание среднего арифметического равно математическому ожиданию самой величины Х и не зависит от количества испытаний, а дисперсия с ростом их числа убывает. Иными словами, при большом числе экспериментов n среднее арифметическое оказывается практически неслучайной величиной. В таком случае говорят об устойчивости среднего арифметического.

Рассмотрим теперь формулировку закона больших чисел:

Пусть {Хi, i ≥ 1} – последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин. (Иными словами, проводится большое количество независимых экспериментов, в каждом из которых наблюдается случайная величина одной и той же природы). Предполагается, что среднее и дисперсия каждой из Хi конечны. Они обозначаются a и σ2 соответственно.

 

Sn = Х1 + Х2 +… + Хn, n ≥ 1

 

ESn = n×a

 

DSn = n×σ2

 

Тогда случайная величина Sn / n, равная среднему арифметическому n первых величин из последовательности, сходится в среднеквадратичном, по вероятности и с вероятностью 1 к математическому ожиданию а.

 

Е (Sn / n - a)2 → 0,

P (|Sn / n - a | < ε) à 1 и

Р{ω: Sn / n (ω) → а} = 1

 

при n à ∞

 

Пример 22.1.

Пусть эксперимент состоит в n-кратном подбрасывании монеты. Пусть Хn – случайная величина, равная 1, если выпал «герб», и 0 – если «решка» в n бросании. Величины Хi независимы, поскольку независимы эксперименты (подбрасывания). Вероятности выпадения «герба» и «решки» совпадают и равны ½. Тогда математическое ожидание EХi = а = ½, а дисперсия DX= σ2=1/4. Величина (Х1 + Х2 +… + Хn) / n равна доле выпавших гербов при n бросаниях монеты и согласно закону больших чисел должна стремиться к ½.Если бы монета была несимметричной и вероятность выпадения Герда была p ¹ ½, то по закону больших чисел доля гербов стремилась бы к а = р

 

 

Обобщение закона больших чисел (закон больших чисел в форме Чебышева)

 

Рассмотренное выше утверждение можно обобщить на случай, когда мы не можем гарантировать одинаковое распределение случайных величин, то есть когда закон распределения случайной величины Х от эксперимента к эксперименту не остается одним и тем же, а изменяется. Тогда вместо среднего арифметического наблюденных значений одной и той же величины Х с постоянными математическим ожиданием а и дисперсией σ2 рассматривается среднее арифметическое n различных случайных величин с различными математическими ожиданиями ai и дисперсиями σ2i. Обобщенный закон больших чисел утверждает, что и в этом случае среднее арифметическое (Х1 + Х2 +… + Хn) / n сходится к среднему их математических ожиданий (a1 + a2 +… + an) / n.

 

 

Замечание 22.2. Выполнение закона больших чисел отражает предельную устойчивость средних арифметических случайных величин: при большом числе испытаний они практически перестают быть случайными и совпадают со своими средними значениями

 

Замечание 22.3. Именно Закон больших чисел является основанием для использования в статистике среднего арифметического выборки (выборочного среднего) для оценки математического ожидания генеральной совокупности.

 

Ни в одной из форм закона больших чисел не идет речь о законах распределения. Предельные законы распределения составляют предмет другой группы теорем - центральной предельной теоремы, которую иногда называют «количественной формой закона больших чисел».

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: