«Одной из важнейших схем, по которой идет использование результатов теории вероятностей в естествознании и технике, состоит в следующем. Считают, что процесс протекает под влиянием большого числа независимо действующих случайных факторов, каждый из которых лишь ничтожно мало изменяет течение явления или процесса. Исследователь, интересующийся изучением процесса в целом, а не действием отдельных факторов, наблюдает лишь суммарное действие этих факторов.
Таки образом, возникает задача изучения закономерностей, свойственным суммам большого числа независимых случайных величин, каждая из которых оказывает лишь малое воздействие на сумму»
(Б.В.Гнеденко «Курс теории вероятностей)
Замечание 22.4. Типичным и самым «насущным» примером такого рода сумм является «суммарная ошибка» - ошибки, вызванные состоянием измерительной техники, «человеческий фактор» - ошибки наблюдателя и пр.
Каждый из этих факторов порождает лишь очень незначительную ошибку. Но все они вместе, «в сумме», способны сказаться на результатах измерений весьма ощутимо. «Иначе говоря, фактически наблюдаемая ошибка измерения будет случайной величиной, являющейся суммой огромного числа ничтожных по величине и независимых между собой случайных величин. И хотя эти последние неизвестны, также как неизвестны и их функции распределения, их влияние на результаты измерений заметно, и поэтому должно быть подвергнуто изучению»
(Там же)
Все формы центральной предельной теоремы посвящены установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения, Так как эти условия на практике весьма часто выполняются, формальный закон является самым распространенным из законов распределения, наиболее часто встречающимся в случайных явлениях природы. Он возникает во всех случаях, когда исследуемая случайная величина может быть представлена в виде суммы достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) элементарных слагаемых, каждое из которых в отдельности сравнительно мало влияет на сумму.
В качестве иллюстрации центральной предельной теоремы часто рассматривают стрельбу (из лука, пушки и пр.) – исторически одну из первых моделей для изучения суммарных погрешностей. Если стрельба ведется по плоской мишени, то точка попадания определяется двумя величинами – отклонением по вертикали и по горизонтали от центра мишени (где полагается начало координат). Рассмотрим одно из них, например, по вертикали. Оно вызвано совокупным действием большого числа факторов (погода, незначительные дефекты снаряда, ошибки престреливания, определения цели и пр.), каждый из которых сравнительно мал. Каждая из этих причин создает элементарную ошибку - отклонение снаряда от цели, и координата снаряда Y может быть представлена как сумма таких элементарных отклонений: Y = Y1 + Y2 + Y 3+ …Yn+…, где Y1, Y2, Y 3, Yn - отклонения, вызванные отдельными факторами. Этих факторов очень много, между собой они являются в основном независимыми, по влиянию на сумму отдельные слагаемые можно считать незначительными, то согласно центральной предельной теореме, величина Y должна подчиняться закону распределения, близкому к нормальному.
Нормальный закон распределения является основным во многих областях, в первую очередь в теории ошибок измерения, в первую очередь в физике и астрономии. (Еще в середине 19 века Ф.Бессель насчитал 11 типов ошибок, которые может совершить один и тот же астроном, наблюдающий за одними и теми же объектами одними и теми же приборами). Именно для обоснования этой теории нормальный закон и был впервые обоснован Лапласом и Гауссом. В большинстве случаев ошибки, возникающие при измерении тex или иных физических величин, распределяются именно по нормальному закону; причина этого в том, что такие ошибки, как правило, складываются из многочисленных независимых элементарных ошибок, порождаемых различными причинами.
Замечание 22.5. На самом деле история с изучением суммарных ошибок измерений более сложная. В ее развитие внесли вклад многие ученые, в том числе Д.Бернулли (изучение погрешности при стрельбе из лука), а А.де Муавр впервые получил колоколообразную кривую (кривую Гаусса), аппроксимируя числа треугольника Паскаля на строках с тысячными номерами)
Замечание 22.6. Традиционным для математики образом в соответствующей теории рассматривается не сумма очень большого (но конечного) числа слагаемых, а последовательность сумм со все возрастающим (бесконечно) числом слагаемых.
Sn = Х1 + Х2 +… + Хn, n ≥ 1
ЕХi = a
Тогда Sn* стремится по распределению к случайной величине Z, имеющей стандартное нормальное распределение с соответствующей функцией распределения 
Замечание 22.7. Суммы Sn* называются иногда нормированными (или стандартизированными) суммами
Замечание 22.8. Центральная предельная теорема является обобщением теоремы Муавра-Лапласа
Замечании 22.9. Центральной предельной теоремой обычно называют утверждение о сходимости, в котором в качестве предела появляется нормальное распределение. Исторически такие ошибки возникли как ошибки наблюдений, подверженных влиянию случайности. Поэтому теорему можно понимать как всеобъемлющее утверждение о том, что при «нормальных» условиях на слагаемые стандартизованная сумма распределена согласно нормальному закону, называемому также «функцией ошибок».
Пример 22.2.
Случайная величина Х является средним арифметическим из 3200 случайных величин с математическим ожиданием 3 и дисперсией 2. С помощью центральной предельной теоремы оценить вероятность попадания Х в промежуток (2,9, 3,1)
Поскольку Х=Sn /n = (Х1 + Х2 +… + Хn)/n,
Sn* = (Х – 3)×40 имеет стандартное нормальное распределение и вероятность попадания значения Х в промежуток (2,9, 3,1) будет равно P{2,9 < X < 3,1} = P{(2,9 – 3)×40 < Sn* < (3,1 – 3)×40}, каковая есть разность значений функции распределения стандартного нормального закона в точках (4) и (-4), то есть Ф(4) – Ф(-4), что, в силу нечетности функции Ф, будет равняться 2×Ф(4) = 2×0,49997=0,99994 (значение функции Лапласа берется из таблицы).