Понятие позиционной системы счисления.
Система счисления - это метод записи числа при помощи указанного набора специальных знаков (цифр).
Система счисления:
- даёт представление множества чисел (целых и/или вещественных);
- даёт каждому числу уникальное представление (либо, хотя бы, стандартное представление);
- отображает алгебраическую и арифметическую структуру числа.
Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.
Отдельная позиция в отображении числа называется разряд, значит, номер позиции - номер разряда.
Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся на однородные и смешанные.
Непозиционная система счисления — древнейшая, здесь все цифры числа имеют величину, которая не зависит от позиции (разряда).
То есть, если есть 5 палочек, значит число соответственно равно 5, так как каждой палочке, вне зависимости
от её места в строке, соответствует только 1 предмет.
Позиционная система счисления — значение каждой цифры зависит от позиции (разряда) этой цифры в числе.
Например, стандартная 10-я система счисления является позиционной. Допустим дано число 453.
Цифра 4 означает число сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению
50, а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.
Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.
Однородная система — для каждого разряда (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) одинаковый. Как пример снова используем 10-ю систему. Если записывать число в однородной 10-й системе, то можно использовать в каждом разряде только одну цифру в интервале 0 - 9, т.о., допускается число 450 (1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, так как символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.
Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов в других разрядах. Хороший пример — система измерения времени. В разряде
секунд и минут существует 60 разнообразных символов («00» - «59»), в разряде часов – 24 символа («00» - «23»), в разряде суток – 365 и т. д.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, которые изображают число.
Каждая позиционная система характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления – это количество разных знаков либо символов, которые используются для изображения цифр в этой системе.
Основанием принимают всякое натуральное число - 2, 3, 4, 16 и т.д. То есть, существует безграничное множество позиционных систем.
Примеры позиционной системы счисления – двоичная система счисления, десятичная система счисления, восьмеричная система счисления, шестнадцатеричная система счисления и другие системы счисления.
Примеры базисов различных систем счисления.
Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры «по месту» или «вес» каждого разряда.
В привычной нам десятичной системе счисления базисом являются степени числа десять – 1, 10, 100, 1000, 1000… Это означает, что в записи числа каждая последующая цифра «весит» больше предыдущей в 10 раз. Более наглядно это проявляется в так называемой развернутой форме записи числа.
444=4*100+4+101+4*102; 658=8*100+5*101+6*102.
Натуральный ряд чисел в десятичной системе счисления: 1..9, 10..99, 100…
Кроме десятичной, мы будем рассматривать и другие позиционные системы счисления.
В восьмеричной системе счисления основание равно 8, алфавит составляют цифры от 0 до 7, базисом является последовательность 1, 8, 82, 83, 84…, т.е., каждая последующая цифра в 8 раз больше предыдущей. В развернутой форме восьмеричное число записывается так: 3458=5*80+4*81+3*82
Натуральный ряд чисел в восьмеричной системе счисления: 1..7,10, 11..77, 100…
Таким образом, справедливо, что 810=108.
В троичной системе счисления основание равно 3, алфавит составляют цифры 0,1,2, базисом являются числа 1, 3, 32, 33, 34…,т.е., единица каждого разряда в 3 раза больше предыдущей. В развернутой форме троичное число записывается так: 120=0*30+2*31+1*32. Натуральный ряд чисел в троичной системе счисления: 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100… Сравнивая десятичный и троичный рады натуральных чисел, получаем, что 310=103.
Двоичная система счисления имеет алфавит, состоящий из цифр 0 и 1, основание, равное двум, базисную последовательность 1, 2, 22, 23,24,… Развернутая запись числа 101102=0*20+1*21+1*22+1*23+1*24. Натуральный ряд чисел: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111… Таким образом, 210=102.
В шестнадцатеричной системе счисления в алфавите, кроме цифр 0..9, используются заглавные буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F, которые обозначают цифры 10, 11, 12, 13, 14, 15. Основание шестнадцатеричной системы счисления равно 16, базис составляют степени числа 16. Развернутая форма записишестнадцатеричного числа 3А516=5*160+10*161+3*162. Натуральный ряд чисел 1..9, А..F, 10, 11, 12… Значит, 1610=1016.
Т.о., позиционная система счисления с основанием P характеризуется тем, что с помощью ограниченного набора цифр можно записать сколь угодно большое и сколь угодно малое число в виде суммы произведений цифр на положительные и отрицательные степени числа Р.
В общем виде это можно записать так: anan-1an-2…a1a0,b1b2…bk=an*pn+an-1*pn-1+…+a1*p1+a0*p0+b1*p-1+b2*p-2+…+bk*p-k
где р - основание системы счисления, аi,bi – цифры р-ичного числа.