Алгебра и геометрия
Задание 1. Вычислить определитель третьего порядка:
а) по определению (по правилу треугольников);
б) по правилу Саррюса;
в) разложением по элементам i-й строки;
г) разложением по элементам j-го столбца.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Задание 2. Вычислить определитель четвертого порядка:
а) получив нули в i-й строке;
б) преобразовав его к треугольному виду.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Задание 3. Выполнить указанные действия с матрицами.
Для вариантов 1–5 вычислить D = (a AT + b B) C.
1. a = 3, b = –2,
, , .
2. a = –4, b = 3,
, .
3. a = 2, b = –5,
, , .
4. a = 1 / 2, b = –3,
, , .
5. ,
, , .
Для вариантов 6–10 вычислить D = .
6. a = –1 / 2, b = 1 / 3,
, , .
7.
А = , , .
8. a = –1 / 3, b = 1 / 2,
, , .
9.
, , .
10.
, В = , .
Для вариантов 11–15 вычислить D = .
11. a = 2, b = – 3,
А = , , С = .
12. a = –1, b = 4,
А = , B = , C = .
13. a = 1 /3, b = 1 / 4,
A = , B = , С =
14. a = 2, b = –1,
А = , В = , С = .
15. a = 1 / 2, b = –1 / 3,
А = , В = , С = .
Для вариантов 16–20 вычислить D = .
16. a = 5, b = –1 /2,
А = , В = , С = .
17. a = –1, b = 2,
А = , В = , С = .
18. a = 1 / 3, b = –1,
А = , В = , С =
19. a = 2, b = –1 / 4,
А = , В = , С = .
20. a = 1 / 2, b = –3,
А = , В = , С = .
Для вариантов 21–25 вычислить D = .
21. a = –1, b = –1 / 2,
А = , В = , С = .
22. a = 3, b = 4,
А = , В = , С = .
23. a = 1 / 2, b = 3,
А = , В = , С = .
24. a = 2, b = –1,
А = , В = , С = .
25. a = 1 / 5, b = –2,
А = , В = , С =
Для вариантов 26–30 вычислить D = .
26. a = –1, b = –1 / 3,
А = , В = , С = .
27. a = –2, b = 3,
А = , В = , С = .
28. a = 1 / 2, b = 4,
А = , В = , С = .
29. a = 1 / 3, b = 1 / 4,
А = , В = , С = .
30. a = 2, b = –1,
А = , В = , С = .
Задание 4. Найти обратную матрицу. Сделать проверку.
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
9. | 10. |
11. | 12. |
13. | 14. |
15. | 16. |
17. | 18. |
19. | 20. |
21. | 22. |
23. | 24. |
25. | 26. |
27. | 28. |
29. | 30. |
Задание 5. Найти ранг матрицы
1. ; | 2. ; |
3. ; | 4. ; |
5. ; | 6. ; |
7. ; | 8. ; |
9. ; | 10. ; |
11. ; | 12. ; |
13. ; | 14. ; |
15. ; | 16. ; |
17. ; | 18. ; |
19. ; | 20. ; |
21. ; | 22. ; |
23. ; | 24. ; |
25. ; | 26. ; |
27. ; | 28. ; |
29. ; | 30. . |
Задание 6. Решить системы линейных алгебраических уравнений
а) Методом Крамера (по формулам Крамера);
б) С помощью обратных матриц.
Сделать проверку.
1. ; | 2. ; |
3. ; | 4. ; |
5. ; | 6. ; |
7. ; | 8. ; |
9. ; | 10. ; |
11. ; | 12. ; |
13. ; | 14. ; |
15. ; | 16. ; |
17. ; | 18. ; |
19. ; | 20. ; |
21. ; | 22. ; |
23. ; | 24. ; |
25. ; | 26. ; |
27. ; | 28. ; |
29. ; | 30. . |
Задание 7. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
1. ; | 2. ; |
3. ; | 4. ; |
5. ; | 6. ; |
7. ; | 8. ; |
9. ; | 10. ; |
11. ; | 12. ; |
13. ; | 14. ; |
15. ; | 16. ; |
17. ; | 18. ; |
19. ; | 20. ; |
21. ; | 22. ; |
23. ; | 24. ; |
25. ; | 26. ; |
27. ; | 28. ; |
29. ; | 30. ; |
Задание 8. Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса). Найти общее решение, базисное решение, частное решение.
1. ; | 2. ; |
3. ; | 4. ; |
5. ; | 6. ; |
7. ; | 8. ; |
9. ; | 10. ; |
11. ; | 12. ; |
13. ; | 14. ; |
15. ; | 16. ; |
17. ; | 18. ; |
19. ; | 20. ; |
21. ; | 22. ; |
23. ; | 24. ; |
25. ; | 26. ; |
27. ; | 28. ; |
29. ; | 30. ; |
Задание 9. Решить однородные системы линейных.
а)
1. ; | 2. ; |
3. ; | 4. ; |
5. ; | 6. ; |
7. ; | 8. ; |
9. ; | 10. ; |
11. ; | 12. ; |
13. ; | 14. ; |
15. ; | 16. ; |
17. ; | 18. ; |
19. ; | 20. ; |
21. ; | 22. ; |
23. ; | 24. ; |
25. ; | 26. ; |
27. ; | 28. ; |
29. ; | 30. . |
б)
1. ; | 2. ; |
3. ; | 4. ; |
5. ; | 6. ; |
7. ; | 8. ; |
9. ; | 10. ; |
11. ; | 12. ; |
13. ; | 14. ; |
15. ; | 16. ; |
17. ; | 18. ; |
19. ; | 20. ; |
21. ; | 22. ; |
23. ; | 24. ; |
25. ; | 26. ; |
27. ; | 28. ; |
29. ; | 30. . |
Задание 10. По координатам точек A, B и C для указанных векторов найти:
а) модуль вектора ;
б) скалярное произведение векторов и ;
в) проекцию вектора на вектор ;
г) координаты точки M, делящей отрезок l в отношении α: β;
д) угол между векторами и ;
е) направляющие косинусы вектора .
1. A (4, 6, 3), B (– 5, 2, 6), C (4, – 4, – 3),
= 4 – , = , = , = ,
l = AB, α = 5, β = 4.
2. A (4, 3, – 2), B (– 3, – 1, 4), C (2, 2, 1),
= – 5 + 2 , = , = , = ,
l = BC, α = 2, β = 3.
3. A (– 2, – 2, 4), B (1, 3, – 2), C (1, 4, 2),
= 2 – 3 , = , = , = ,
l = BA, α = 2, β = 1.
4. A (2, 4, 3), B (3, 1, – 4), C (– 1, 2, 2),
= 2 + 4 , = , = , = ,
l = BA, α = 1, β = 4.
5. A (2, 4, 5), B (1, – 2, 3), C (– 1, – 2, 4),
= 3 – 4 , = , = , = ,
l = AB, α = 2, β = 3.
6. A (– 1, – 2, 4), B (– 1, 3, 5), C (1, 4, 2),
= 3 – 7 , = , = , = ,
l = AC, α = 1, β = 7.
7. A (1, 3, 2), B (– 2, 4, – 1), C (1, 3, – 2),
= 2 + 5 , = , = , = ,
l = AB, α = 2, β = 4.
8. A (2, – 4, 3), B (– 3, – 2, 4), C (0, 0, – 2),
= 3 – 4 , = = , = ,
l = AC, α = 2, β = 1.
9. A (3, 4, – 4), B (– 2, 1, 2), C (2, – 3, 1),
= 5 + 4 , = = , = ,
l = BA, α = 2, β = 5.
10. A (0, 2, 5), B (2, – 3, 4), C (3, 2, – 5),
= – 3 + 4 , = = , = ,
l = AC, α = 3, β = 2.
11. A (– 2, – 3, – 4), B (2, – 4, 0), C (1, 4, 5),
= 4 – 8 , = = , = ,
l = AB, α = 4, β = 2.
12. A (– 2, – 3, – 2), B (1, 4, 2), C (1, – 3, 3),
= 2 – 4 , = = , = ,
l = BC, α = 3, β = 1.
13. A (5, 6, 1), B (– 2, 4, – 1), C (3, – 3, 3),
= 3 – 4 , = = , = ,
l = BC, α = 3, β = 2.
14. A (10, 6, 3), B (– 2, 4, 5), C (3, – 4, – 6),
= 5 – 2 , = = , = ,
l = CB, α = 1, β = 5.
15. A (3, 2, 4), B (– 2, 1, 3), C (2, – 2, – 1),
= 4 – 3