Обозначим вектором вектор аргументов пространственного скалярного случайного поля . Вектор определен в области D возможного изменения координат . Точку назовем точкой наблюдения поля. В каждой точке - скалярного поля наблюдается скалярная случайная величина .
Скалярное случайное поле считается описанным полностью, если для произвольного числа точек наблюдения известен способ построения -мерного совместного безусловного распределения вероятностей системы случайных величин .
В частности, если при любых и любом п справедливо соотношение
(9.1)
то поле называется абсолютно случайным, и для его описания достаточно задать зависимость одномерной плотности от координат точки наблюдения этого поля.
Как и при описании случайных величин и процессов, для описания случайных полей часто пользуются их моментными характеристиками.
-точечным начальным моментом порядка скалярного поля называется математическое ожидание произведения соответствующих степеней возможных значений поля в п точках наблюдения:
(9.2)
Одноточечный начальный момент первого порядка
(9.3)
называется математическим ожиданием скалярного случайного поля. Оно характеризует среднее значение случайной величины и в каждой точке области D.
Разность есть центрированное случайное поле. Среднюю величину произведения степеней возможных значений центрированного поля в п точках наблюдения называют -точечным центральным моментом порядка :
(9.4)
Одноточечный центральный момент второго порядка есть дисперсия скалярного поля :
, (9.5)
а двухточечный центральный момент второго порядка – корреляционная функция скалярного поля :
(9.6)
Дисперсия случайного поля характеризует рассеивание случайных значений поля в точке наблюдения, а корреляционная функция — корреляцию значений поля в двух его точках наблюдения и .
Скалярное случайное поле может обладать свойствами однородности и изотропности. Поле называется однородным (строгая однородность), если его - точечное совместное распределение не изменяется при переносе точек наблюдения этого поля на один и тот же вектор , т. е.
(9.7)
при любом и любом числе точек наблюдения п.
Скалярное случайное поле называется однородным в широком смысле, если его математическое ожидание является постоянным во всех точках области D, а корреляционная функция не изменяется при переносе пары точек наблюдения и на один и тот же вектор , т. е.
(9.8)
Иными словами, аргументом корреляционной функции однородного скалярного поля являются не координаты и точек наблюдения этого поля, а вектор , соединяющий эти точки в области D. Свойство однородности скалярного случайного поля эквивалентно свойству стационарности случайного процесса.
Однородное скалярное поле называется изотропным, если корреляция между значениями этого поля в точках и не зависит от ориентации вектора , а зависит только от его длины . Таким образом, в рамках корреляционной теории изотропное скалярное случайное поле описывается двумя характеристиками: математическим ожиданием и корреляционной функцией .