Деформированное состояние
Теория деформации исследует процесс формоизменения тела, причем основывается такое исследование на малых деформациях. Это позволяет рассматривать процесс в каждый данный момент времени. В процессе деформирования каждая точка тела смещается от своего первоначального положения, что в целом характеризует движение сплошной среды. Существуют два подхода при изучении движения сплошной среды.
Переменные Лагранжа
В данном случае объектом изучения являются материальные частицы самой среды. В качестве переменных при этом принимают декартовые координаты 
произвольной материальной частицы в начальный момент времени 
. Тогда ее текущие координаты 
в том же базисе неподвижного пространства наблюдателя есть функции времени 
и начальных координат . Переменные и время называются переменными Лагранжа.
Переменные Эйлера
В этом случае в качестве объекта изучения принимают неподвижное пространство наблюдателя или его фиксированную часть, заполненную движущейся средой. Различные величины, характеризующие при этом движение, считаются функциями точки и времени, т.е. функциями трех аргументов и времени , называемых переменными Эйлера.
С точки зрения Лагранжа нас интересуют законы изменения давления, скорости, температуры и др. величин для данной индивидуальной частицы, а с точки зрения Эйлера - изменение этих величин в данной точке пространства. От переменных Лагранжа можно перейти к переменным Эйлера и наоборот. В дальнейшем мы будем пользоваться переменными Лагранжа.
Перемещения, деформации и связь между ними
Металлические тела, обладая способностью сохранять сплошность, под воздействием внешних сил могут менять свою форму за счет перемещения точек тела.
Пусть в начальный момент координаты точки 
, а в данный момент 
. Тогда перемещения по координатным осям будут 
. Их называют компонентами перемещений.
Изменение относительного положения частиц тела, связанное с их перемещениями называется деформацией.
Совокупность деформаций, возникающих по различным направлениям, определяет деформированное состояние тела и характеризует изменение его формы и размеров.
Деформацию можно описать линейным изменением. Положительным считают удлинение, отрицательным – укорочение.
Для малых деформаций
Помимо линейной существует угловая или сдвиговая деформация. Относительные сдвига обозначают через 
с двумя индексами, указывающими координатную плоскость, в которой происходит искажение угла. Поскольку искажение в данном случае определяется углом 
, то, очевидно, можно записать, что
.
Отсюда следует закон парности сдвиговых деформаций
.
Таким образом с учетом парности сдвиговых деформаций компонент деформаций шесть 
.
Связь между компонентами перемещений и деформаций определяется системой дифференциальных уравнений Коши.
(1)
Тензор деформаций
Деформированное состояние в точке полностью характеризуется тензором деформации, записанным в общем виде
Тензор является симметричным из условия парности сдвиговых деформаций
Главные деформации
В том случае, когда углы между гранями выделенного параллелепипеда не меняются в процессе деформации, а изменяются лишь длины ребер, имеем главные линейные деформации. Параллелепипед, например, в этом случае должен быть ориентирован ребрами параллельно главным осям деформации. Тогда
, где 
В площадках, перпендикулярных одной координатной плоскости и расположенных под 
к двум другим, возникают наибольшие (главные) сдвиговые деформации
.
В данном случае можно построить такие же диаграмму Мора как и для напряжений.
Инварианты тензора деформаций
Тензор деформации аналогично тензору напряжений содержит инварианты
(первый – линейный)
(второй – квадратичный)
(третий – кубический)
Разложение тензора деформации на составляющие
В общем случае тензор деформаций можно разложить
Шаровый тензор 
выражает изменение объема (объемную деформацию), что возможно лишь при наличии упругой деформации тела. Девиатор деформации 
выражает изменение формы. При решении задач пластического деформирования долей упругой деформации обычно пренебрегают. Тогда
Это значит, что тензор деформации по существу является девиатором 
. Поэтому ось на диаграмме Мора всегда пересекает фигуру диаграммы.