Е.В. Бондарева
Для студентов специальностей
020400 «География»,
020800 «Экология и природопользование».
Волгоград 2011
©
I. Линейная алгебра
Матрицы. Действия над матрицами
1. Даны матрицы: 
и 
.
Найти:
1) А±В;
2) 5А − 7В;
3) АВ и ВА.
2. Даны матрицы: 
и 
.
Найти:
1) 5А − 2В;
2) 2А + 3В;
3) АВ и ВА.
3. Найти произведения матриц АВ и ВА, если
и 
.
5. Даны матрицы 
и 
.
Найти произведение АВ.
6. Даны матрицы: 
и 
. Доказать, что АВ ≠ ВА.
7. Дана матрица 
. Найти А 2.
8. Найти матрицу D =(AB) T − С 2, если
; 
; 
.
9. Найти матрицу АВС, если
; 
; 
.
10. Вычислить А3, если 
11. Даны матрицы А и В:
− матрица коэффициентов прямых затрат производства,
−матрица коэффициентов полных затрат производства.
Найти матрицу косвенных затрат.
12. Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей 
. Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей 
. Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида, 200 единиц продукции второго вида и 150 единиц продукции третьего вида? (Ответ 28 000).
§ 2. Определители.
1. Вычислить определители второго порядка:
1) 
; 2) 
.
2. Вычислить определители третьего порядка, используя правило треугольников:
1) 
; 2) 
.
3. Вычислить определители с использованием свойств определителя:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
4. Вычислить определители:
1) 
;2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
.
5. Найти сумму 
+ 
.
6. Доказать, что 
= 5 
.
7. Найти сумму 
+ 
.
8. Найти отношение 
: 
.
Обратная матрица.
1. Вычислить матрицу, обратную к матрице А, если
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
Сделать проверку
2. При каких значениях λ матрица А не имеет обратной
1) 
; 2) 
3. Вычислить матрицу В = 11 · (А -1) Т + АТ, где
.
4. А − матрица коэффициентов прямых затрат производства
Найти матрицу коэффициентов полных затрат производства, используя формулу S = (E − А)−1
Ранг матрицы.
1. Найти ранги матриц:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
Системы линейных уравнений.
1. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:
1) 
2) 
2. Решить матричные уравнения:
1) 
; 2) 
;
3) АХВ = С, если 
, 
, 
3. Решить систему по формулам Крамера:
1) 
2) 
3) 
4) 
4. Решить систему методом Гаусса:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
5. Исследовать систему уравнений и решить ее в случае совместности:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
Индивидуальное задание №1 по теме: «Решение систем линейных уравнений»
Решить систему уравнений:
1) Методом обратной матрицы;
2) По формулам Крамера.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12.
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
20. 28. 
21. 
29. 
22 
30. 
II. Элементы векторной алгебры
Векторы. Линейные операции над векторами (задачи на построение)
1. Даны произвольные векторы 
и 
. Построить векторы:
1) + ;
2) − ;
3) − − .
2. Даны произвольные векторы , и 
. Построить векторы:
1) + + ;
2) + 
− ;
3) − + 
;
4) − − .
3. Пользуясь параллелограммом, построенном на векторах 
и , проверить на чертеже справедливость тождеств:
1) ( + ) + ( − ) = 2 ; 2) ( + ) − ( − ) = 2 ;
3) +( − ) = .
4. Даны векторы , и . Построить векторы:
1) 2 − ;
2) 3 − 
;
3) 
+ − 4 ;
4) 
− 
5. Векторы и взаимно перпендикулярны, причем 
=5, 
=12. Определить
1) | + |;
2) | − |.
6. Вычислить модули векторов:
1) =2 
− 10 
+ 11 
;
2) = + 2 − 2 ;
3) 
=2 − 5 .
7. Найти длину вектора 
, если А (1; 2; −3) и В (3; −1; 0)
8. Дан вектор =7 − +5 . Определить координаты точки В, если А (−2;1;0).
9. Дано = +2 − 3 . Определить координаты точки А, если В (1; −1; 5).
10. Вычислить направляющие косинусы для векторов:
1) 
= 3 − 4 + 5 ;
2) = 12 − 3 − 4 .
11. Вектор составляет с осями координат равные острые углы. Определить эти углы.
Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на заданное направление.
1. Вычислить скалярное произведение векторов и , если:
1) =2 − 3 + 4 ; = 3 − − 2 ;
2) = − − 5 ; = 4 + 2 + ;
3) =2 + 3 + 4 ; = −2 + 4 − 2 .
2. Определить угол между векторами и , если:
1) =2 + − 4 ; = − 2 + 2 ;
2) = + ; = + 2 − 2 ;
3) = – 2 +2 ; = – + .
3. Показать, что вектор =3 +2 +5 перпендикулярен вектору = 2 − 3 .
4. Даны координаты вершин треугольника в пространстве: А (−1; 2; 3); В (1; 1; 1); С (0; 0; 5). Показать, что треугольник АВС – прямоугольный.
5. Найти угол между векторами 
и 
, если:
А (5; −2; 3); В (7; −4; 4); С (0; −1; 2); М (4; 3; 6).
6. Определить, при каком значении m векторы
=m − 3 + 2 и = + 2 −m взаимно перпендикулярны.
7. Даны векторы и . Определить 
и 
если:
1) = + − 2 ; = − + 3 ;
2) = + + 2 ; = − + 4 .
8. Найти проекцию вектора на вектор , если:
1) А (3; 1; 0); В (0; −2; 6); С (3; −2; 0); М (1; −2; 4);
2) А (− 2; 3; 4); В (2; 2; 5); С (1; −1; 2); М (3; 2; −4).