МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КАЛУЖСКОЙ ОБЛАСТИ
ГБПОУ КО «Калужский торгово-экономический колледж»
МЕТОДИЧЕСКИЕ
УКАЗАНИЯ
к контрольной работе
по дисциплине «МАТЕМАТИКА»
для студентов I курса заочного отделения
СОДЕРЖАНИЕ
ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.. 3
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ.. 5
ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ.. 9
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.. 14
ПРИЛОЖЕНИЯ.. 15
ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Контрольная работа должна содержать:
1. Титульный лист
2. Рецензия
3. Оглавление
4. Содержание работы
Работа выполняется вручную
Контрольная работа может быть выполнена по усмотрению студента:
- либо в обычной ученической тетради,
- либо на листах формата А4.
Титульный лист. Заполняется по образцу.
Рецензия. Содержит один чистый лист для рецензии работы.
Оглавление. Содержит перечень заданий с указанием номеров страниц.
Содержание работы.
Каждый вариант контрольной работы содержит 6 заданий. Задания выполняются в указанном порядке. Условия заданий должны быть записаны полностью. Каждое задание начинается с новой страницы. В решении задач необходимо указать все используемые формулы; решение должно содержать комментарии или пояснения, указаны все расчеты и показаны все преобразования, выполняемые с алгебраическими выражениями.
После выполнения контрольная работа сдается на проверку.
Студент должен ознакомиться с результатами проверки работы. На экзамене (зачете) студент должен дать все необходимые пояснения по решенным заданиям. При затруднениях, возникших при выполнении контрольной работы, студент может получить консультацию преподавателя.
Номер варианта выбирается по последней цифре зачетной книжки.
| ЦИФРА | ВАРИАНТ | ЦИФРА | ВАРИАНТ |
| 1 вариант | 6 вариант | ||
| 2 вариант | 7 вариант | ||
| 3 вариант | 8 вариант | ||
| 4 вариант | 9 вариант | ||
| 5 вариант | 10 вариант |
Номера задач каждого варианта приведены в таблице:
| Вариант | Номера заданий | |||||
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
Упражнение 1. Выполнить операции над матрицами.
Основные алгебраические операции с матрицами
Равенство двух матриц. Две матрицы считают равными, если эти матрицы имеют одинаковые размерности и равны все их соответствующие элементы.
Сложение двух матриц. Сложить можно только матрицы одинаковой размерности. Суммой матриц А и В называют матрицу С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов складываемых матриц. Например,
Некоторые свойства сложения матриц
А + В = В + А; (А + В) + С = А +(В + С).
Умножение матрицы на число. Все элементы исходной матрицы умножаются на заданное число. Например,
Умножение матриц.
Две матрицы могут быть перемножены только тогда, когда число столбцов в первой матрицы равно числу строк во второй (такие матрицы называются согласованными).
То есть, если матрица А имеет размер [n,p], а матрица В - размер [p,m], то результирующая матрица будет иметь размер [n,m]
Символически это правило может быть выражено в следующем виде:
(n,p) х (p,m) = (n,m)
Для вычисления элементов результирующей матрицы существует следующее правило: элементы, стоящие в i-ой строке и j- ом столбце, равны сумме произведений элементов первой матрицы, стоящих в i-ой строке на элементы второй матрицы, стоящие в j- ом столбце.
Примеры умножения матриц произвольного порядка:
1) 
Данные матрицы перемножить невозможно, так как они не являются согласованными – количество столбцов в первой матрице равно 2, а количество строк во второй матрице равно 3.
2) 
Данные вычисления могут быть записаны и в таком виде
3) Выполним теперь умножение матриц В х А. Получаем
Очевидно, что размеры результирующей матрицы D - [2,2].
Из примеров 2 и 3 видно, что произведение матриц не коммутативно (в общем случае), т.е. 
.
Упражнение 2. Найти производные, пользуясь правилами и формулами дифференцирования (Приложение 1).
Решение:
Кроме формул дифференцирования нужно использовать правила дифференцирования (суммы, разности, произведения, частного).
Необходима и теорема о производной сложной функции:
если задана сложная функция 
, где 
, то есть 
; если каждая из функций 
и 
дифференцируема по своему аргументу, то
.
1) 
, 
,
.
2) 
,
3) 
4) 
Упражнение 3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и начертить график.
Исследование функции и построение графика рекомендуется проводить по следующей схеме:
1) найти область определения функции D(y);
2) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;
3) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;
4) найти асимптоты графика функции;
5) построить график, используя результаты предыдущих исследований;
6) дополнительно найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке 
.
Решение:
Дана функция: 
1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y): 
, а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и график ее не имеет вертикальных асимптот.
2) Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:
Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки I рода х1 = -5, х2 = -1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:
| x | 
| -5 | 
| -1 | 
|
| + | - | + | ||
| & | max | ( | min | & |
3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем II производную заданной функции и приравняем ее к нулю:
, т.е. 
Итак, функция имеет одну критическую точку 2 рода 
. Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которой установим знак II производной:
| x | 
| -3 | 
|
| - | + | |
| 
| т.п. | 
|
Значение является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки 
4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты 
воспользуемся формулами: 
.
Имеем 
.
Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.
5) 
Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума А1(-5; 4), минимума А2(-1; -4), перегиба А3 (-3; 0) и точку пересечения графика с осью Оу А4 (0; 
С учетом результатов предыдущих исследований построим кривую.
6) Найдем наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке 
. Для этого посчитаем значения функции на концах этого отрезка, в критических точках I рода, попавших на отрезок, и сравним результаты:
.
Очевидно, что 
.
Упражнение 4. Задан закон s(t) изменения пути движения материальной точки; нужно найти значения скорости и ускорения этой точки в момент времени t0.
Решение:
Пусть 
.
Известно, что значения скорости и ускорения материальной точки в некоторый момент времени являются соответственно значениями в этот момент I и II производных функции, задающей закон изменения пути движения точки.
У нас 
(ед. ск.)
(ед. уск.)
ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
В заданих 1-10 найти матрицу С, выполнив операции над матрицами А и В:
№ 1.
С = А(2А + В), 
№2.
С = 2А(А + В), 
№3.
С = (А + 2В)А, 
.
№4.
С = 3В(А – В), 
№5.
С = 2А(В – А), 
№6.
С = А(2А + В),
№7.
С = 2А(А + В),
№8.
С = (А + 2В)А, .
№9.
С = 3В(А – В),
№10.
С = 2А(В – А),
В задачах 11-20 найти производные, пользуясь правилами и формулами дифференцирования:
№ 11
1) Найдите производную функции 
2) Найдите значение производной функции 
в точке 
3) Найдите значение производной функции 
в точке 
4) f(х) = (3х-2) 
. Найдите f ׳(1).
5) f(х) = 5 
Вычислите f ׳ 
6) Найдите значение 
, если 
7) Решите уравнение 
, если f(x) = 
; g(x) = 
№12
1) Найдите производную функции 
2) Найдите значение производной функции 
в точке 
3) Найдите производную функции 
4) Найдите значение производной функции 
в точке 
5) f(х) = 3 
Вычислите f ׳ 
.
6) Найдите значение 
, если 
7) Решите уравнение , если f(x) = 
; g(x) = 2
№13
1) Найдите производную функции 
2) Найдите значение производной функции 
в точке
3) Найдите значение производной функции 
в точке 
.
4) f(х) = (3х + 2) . Найдите f ׳(-1).
5) f(х) = 5 Вычислите f ׳ .
6) Найдите значение 
, если 
7) Решите уравнение , если f(x) = ; g(x) =
№14
1) Найдите производную функции 
2) Найдите значение производной функции 
в точке 
3) Найдите производную функции 
4) f(х) = (5х + 4) 
. Найдите f ׳(- 1).
5) f(х) = 3 Вычислите f ׳ 
.
6) Найдите значение , если
7) Решите уравнение , если f(x) = ; g(x) = 2
№ 15
1) Найдите производную функции
2) Найдите значение производной функции в точке
3) Найдите значение производной функции в точке
4) f(х) = (3х-2) . Найдите f ׳(1).
5) f(х) = 5 Вычислите f ׳
6) Найдите значение , если
7) Решите уравнение , если f(x) = ; g(x) =
№16
1) Найдите производную функции
2) Найдите значение производной функции в точке
3) Найдите производную функции
4) Найдите значение производной функции в точке
5) f(х) = 3 Вычислите f ׳ .
6) Найдите значение , если
7) Решите уравнение , если f(x) = ; g(x) = 2
№17
1) Найдите производную функции
2) Найдите значение производной функции в точке
3) Найдите значение производной функции в точке .
4) f(х) = (3х + 2) . Найдите f ׳(-1).
5) f(х) = 5 Вычислите f ׳ .
6) Найдите значение , если
7) Решите уравнение , если f(x) = ; g(x) =
№18
1) Найдите производную функции
2) Найдите значение производной функции в точке
3) Найдите производную функции
4) f(х) = (5х + 4) . Найдите f ׳(- 1).
5) f(х) = 3 Вычислите f ׳ .
6) Найдите значение , если
7) Решите уравнение , если f(x) = ; g(x) = 2
№ 19
1) Найдите производную функции
2) Найдите значение производной функции в точке
3) Найдите значение производной функции в точке
4) f(х) = (3х-2) . Найдите f ׳(1).
5) f(х) = 5 Вычислите f ׳
6) Найдите значение , если
7) Решите уравнение , если f(x) = ; g(x) =
№20
1) Найдите производную функции
2) Найдите значение производной функции в точке
3) Найдите производную функции
4) Найдите значение производной функции в точке
5) f(х) = 3 Вычислите f ׳ .
6) Найдите значение , если
7) Решите уравнение , если f(x) = ; g(x) = 2
В задачах 21-30 исследовать функцию методами дифференциального исчисления и начертить график:
№ 21
№ 22
№ 23
№ 24
№ 25
№ 26
№ 27
№ 28
№ 29
№ 30
В задачах 31-40 задан закон s(t) изменения пути движения материальной точки; нужно найти значения скорости и ускорения этой точки в момент времени t0:
№ 31
№ 32
№ 33
№ 34
№ 35
№36
№ 37
№ 38
№ 39
№ 40
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов. - М.: Дрофа, 2012. - 400 с.
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высш. шк., 2012. - 495 с.
3. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. - М.: Дрофа, 2014. - 208 с.
4. Валуцэ И.И. Математика для техникумов. – М.: Наука. Гл. ред. Физ.мат. лит., 2013 – 576 с.: ил.
5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2. - М.: ООО "Издательство Оникс", 2012. - 416 с.
6. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов - М.: ЮНИТИ, 2013. - 471 с.
7. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Практикум - М.: ЮНИТИ, 2013. - 479 с.
8. Кремер Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика», учебник, ЮНИТИ-ДАТА, 2010. 551 с.
9. Пехлецкий И.Д. Математика. - М.: Издательский центр "Академия", 2014. - 320 с.
10. Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов. - М.: ООО "Издательский дом "ОНИКС 21 век", 2014. - 464 с.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Формулы дифференцирования
| Правила дифференцирования
|
Таблица значений тригонометрических функций
|