Автор: Громова К.С., руководитель Будко Л.Ф., МБОУ СОШ №1,х. Маяк. 2013г.
| Таблица 3. Признаки делимости 7, 11, 13, 19. | ||
| На: | Правило | Пример |
| число делится на 7 в том и только в том случае, если на 7 делится число р = n0 + 3n1 + 2n2 - (n3 + Зn4 + 2n5) + …. n0 n1 n2... - цифры единиц, десятков, сотен... числа n. | 1999 не делится на 7, поскольку на 7 не делится число р=9+З·9+2∙ 9-1=53. | |
| число делится на 11 в том и только в том случае, если сумма его цифр, стоящих на нечётных местах, отличается от суммы цифр, стоящих на чётных местах, на величину, кратную 11. | 1969 делится на 11, потому что (9+9)-(1+6)=18-7=11, делится на 11. | |
| Число делится на 13 в том и только в том случае, когда на 13 делится число, полученное из него зачёркиванием последней цифры и прибавлением к полученному числу учетверённого значения зачёркнутой цифры. | число n=676 делится на 13,так как число 67+6 ∙ 4=91, 9+1∙4 =13 | |
| число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19. | Число 608 делится на 19, так как число 60+2 ∙ 8=76, 7+2∙6 =19. |
| «Напоминалка» | ||
| №п\п | Схожие действия | К каким числам применить |
| 1. | Обратите внимание на группу цифр в конце числа… | 4, 8,2n,5n |
| 2. | Найди сумму цифр… | 3.9 |
| 3. | Найди сумму числа десятков и единиц, увеличенных в несколько раз… | 19,29,79,23 |
| 4. | Зачеркни последнюю цифру и… | 13,59 |
| 5. | Найди разность или модуль разности … | 11,31,41 |
| 6. | Разбей цифры числа на группы… | 99, 101 |
Автор: Громова К.С., руководитель Будко Л.Ф., МБОУ СОШ №1,х. Маяк. 2013г.
| Таблица 4. Признаки делимости на 23, 29,31,41, 59, 79.99,101 | ||
| На: | Правило | Пример |
| число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23. | 28842 делится на 23, так как 288 + (3 ∙ 42) = 414, продолжаем 4 + (3 ∙ 14) = 46, очевидно делится на 23. | |
| Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29. | 261 делится на 29, так как 26+3∙1 = 29 делится на 29. | |
| Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31. | 217 делится на 31, так как | 21- 3∙7|=0 делится на 31 | |
| число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41. | 369 делится на 41, так как | 36- 4∙9| =0 делится на 41. | |
| число делится на 59 тогда и только тогда, когда на него делится число, полученное путём зачёркивания последней цифры и прибавлением к оставшемуся числу ушестерённой вычеркнутой цифры. | 728355 делится на 59, так как 728355 + 6 ∙ 5= 72865, 7286 + 6 ∙ 5= 7316, 731 + 6 ∙ 6= 767, 76 + 6 ∙ 7= 118, 11 + 6 ∙ 8= 59. | |
| Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. | 711 делится на 79, так как на 79 делится  .
| |
| число делится на 99 тогда и только тогда, когда сумма групп чисел делится на 99 (в каждой группе по два числа, деление на группы начинается справа налево) | 1584 делится на 99, так как 15+84=99, очевидно делится на 99. | |
| Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. | Пример, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101. |
Автор: Громова К.С., руководитель Будко Л.Ф., МБОУ СОШ №1,х. Маяк. 2013г.
| «Напоминалка» | ||
| №п\п | Схожие действия | К каким числам применить |
| 1. | Обратите внимание на группу цифр в конце числа… | 4, 8,2n,5n |
| 2. | Найди сумму цифр… | 3.9 |
| 3. | Найди сумму числа десятков и единиц, увеличенных в несколько раз… | 19,29,79,23 |
| 4. | Зачеркни последнюю цифру и… | 13,59 |
| 5. | Найди разность или модуль разности … | 11,31,41 |
| 6. | Разбей цифры числа на группы… | 99, 101 |
Для повторения.
Признак делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу.
Определение. Целое число а делится на целое, отличное от нуля, число b, если существует целое число k такое, что а = bk. В этом случае число a называется кратным числа b, а число b – делителем числа a.
| Теорема 1 | Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число. |
| Теорема 2 | Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число. |
| Теорема 3 | Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и все произведение делится на это число. |
Литература
1.https://www.onlinedics.ru/slovar/fil/p/priznak.html
2. М Аксёнова, В. Володин. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. М.: Аванта+, 2004.
3.https://www.math.com.ua/articles/criterion_of_divisibility.html
4. Я. И. Перельман «Занимательная алгебра. Занимательная геометрия» «Ростов-на-Дону», 2005.
5.Большой Российский энциклопедический словарь. – М:Большая Российская энциклопедия, 2005.
6.И.К. Выгодский Справочник по математике. –М: Просвещение, 1998.
7.Г.В. Дорофеев. ЕГЭ. Математика. Супер репетитор.– М.: Эксмо,2006.
8.Г.Г. Левитас. Нестандартные задачи по математике в 7-11 классах. –М.:Илекса, 2007.