Центральные и нецентральные поверхности.




Раздел III

Общая теория поверхностей второго порядка

Рассмотрим многочлен степени 2 от трех неизвестных

(1)

Инварианты общих ортогональных преобразований ПДСК в пространстве многочлена (1)

Инварианты поворота и переноса

Инварианты поворота

Аффинные свойства поверхностей второго порядка.
Пересечение поверхностей и прямой.

Рассмотрим поверхность второго порядка

(2)

(3)

Рассмотрим поверхность с уравнением (2) и прямую в пространстве

(4)

Рассмотрим различные случаи пересечения прямой и поверхности:
решаем: (4) подставляем в (2), получим:

(5)

(6)

Найдем точки пересечения, т.е. решения уравнения (5)

I. P=0 (5)-> (5.1)

(7)

Если прямая (4) удовлетворяют условию (7), то она называется прямой асимптотического направления относительно поверхности с уравнением (2).

Уравнение (5), различные решения

I.1. Q≠0

В этом случае прямая (4) пересекает поверхность (2) в одной точке.

I.2. Q=0 R≠0

(5.1)->R=0 (противоречие)

т.е. прямая не имеет точек пересечения с поверхностью, если она имеет асимптотическое направление (удовл (7)), то она является асимптотой.

I.3. Q=R=0

ур-е (5)-> , т.е. - решение (5)

все точки лежащие на прямой являются точками пересечения с поверхностью, т.е. прямая (4) целиком лежит на поверхности и она называет прямолинейной образующей поверхности.

Конус асимптотических направлений и асимптотический конус поверхностей.

Пусть все такие прямые проходят через т. М0.

Из (4)

-> в (7) и делим на t 2:

(8)

(8) – уравнение конической поверхности второго порядка с вершиной М0.

Определение. Коническая поверхность (8) называется конусом асимптотических направлений поверхности с уравнением (2).

Любая прямая асимптотического направления (удовл (7)), проходящая через т.М0 лежит на этом конусе.

Определение. Если т.М0 совпадает с центром поверхности второго порядка, то конус асимптотических направлений (8) называется асимптотическим конусом поверхности второго порядка.

 

II. P≠0 прямой неасимтотического направления относительно поверхности

II.1.

тогда прямая (4) пересекает поверхность в двух точках и образует хорду

уравнение (5) имеет 2 корня

II.2.

Прямая является касательной, она касается поверхности второго порядка.

II.3.

Прямая не имеет точек пересечения с поверхностью второго порядка.

Касательная плоскость к поверхности второго порядка

Рассмотрим поподробнее случай II.2.

Пусть - точка касания => - принадлежит поверхности (2)

(*)

Для касательной прямой должно удовлетворять (*)

Из (4), пусть

--> (*)

(*)=> (**)

=>

(**)=> (9)

Уравнению (9) должна удовлетворять любая прямая, касающаяся поверхности в т. М 0.

(x;y;z) – это координаты текущей точки прямой, касающейся поверхности в т. М 0, т.к. это уравнение плоскости => все такие прямые укладываются в эту плоскость, она называется касательной плоскостью поверхности в т. М 0.

 

Центр поверхности второго порядка.

Центральные и нецентральные поверхности.

Определение. Точка пространства называется центром поверхности второго порядка, если любая хорда поверхности, проходящая через эту точку, делится в этой точке пополам.

Теорема 1. Точка М 0(x 0; y 0; z 0) – центр поверхности с уравнением (2) <=> выполняются условия , ,

(10)

Док-во:

|=> Пусть M 0 – центр

M 1 M 2 – хорда (4) и (2)

M 1 M 2

M 0 – середина хорды M 1 M 2=>

t 1 и t 2 - корни уравнения (5)

по т. Виета Q =0 (т.к. )

(*)

Рассмотрим 3 линейно независимых неасимптотических вектора

; ; и рассмотрим хорды этих направлений, проходящие через т. M 0, для них всех выполняется равенство (*)

(**)

Вопрос: как найти F 10, F 20, F 30? (**) – система однородных линейных уравнений на F 10, F 20, F 30. Рассмотрим определитель этой системы

, т.к. 3 вектора л/н,

=> по т.Крамера получаем, что

-- единственное решение.

<=| Если выполняется (10), докажем, что М 0 – центр.

Пусть выполняется (10) для точки М 0

Рассмотрим хорды, проходящие через т. M 0=> Q =0=(т.Виета. ур.(5))=>

=> ; ; => M 0 – Центр.

Поверхность, которая имеет единственный центр, называется центральной.

(10):

Пусть

Тогда система (10) по теореме Крамера имеет единственное решение, поверхность имеет один центр. Если , то поверхность является нецентральной. Такая поверхность может не иметь центра, иметь прямую центров, иметь плоскость центров.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: