Цель работы
Целью работы является изучение численных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений. В настоящей работе рассматриваются следующие методы нахождения корней уравнения:
· - Метод деления отрезка пополам.
· - Метод хорд.
· - Метод касательных (Метод Ньютона).
· - Метод итераций.
Примеры заданий
Найти корни уравнений:
1. x2 - 0.5 + sin(x) =0;
2. 2 * sin(x) - x2 + 0.3 * x = 0;
3. 0.1 * sin(x) + x3 - 1 = 0;
4. 0.1 * x2 - x * Ln(x) = 0;
5. 0.1 * x3 - 2 * x2 + x - 5 = 0;
6. x3 - 0.39 * x2 - 10.5 * x + 11 = 0;
7. 1.3 - Ln(x) = 0;
8. 2.5 - 3 * sin(x + Pi / 4) = 0;
9. abs(x) + cos(x + Pi / 8) - 2.5 = 0.
Найти минимальный положительный корень:
10. sin(x) = P - q * x, 0 < P < 1, q < 1;
11. cos(x) = P + q * x, 0 < P < 1, q < 1.
Найти минимальный по модулю отрицательный корень:
12. cos(x) = P - q * x, 0 < P < 1, q > 0;
13. Ln(x) = P - q * x2, P,q > 0.
Теоретические сведения
Пусть уравнение имеет вид f(x) = 0. Функция f(x) определена в некотором конечном или бесконечном интервале a < x < b. Всякое значение x* обращающее функцию f(x) в нуль называется корнем уравнения. При отыскании приближенных значений корней уравнения приходится решать две задачи:
- Отделение корней. Отыскиваются ограниченные области, в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения.
- Вычисление корней с заданной точностью.
Приемы отделения корней
При отделении корней уравнения полезны следующие теоремы:
Теорема 1. Если непрерывная функция f(x) принимает значение разных знаков на концах промежутка a,b так, что f(a) * f(b) < 0, то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x) = 0.
Теорема 2. Корень x* будет единственным, если при выполнении условий, изложенных в предыдущей теореме, производная f '(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри a,b.
Графический способ отделения корней
Действительные корни уравнения f(x) = 0 приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика y=f(x) с осью X. Eсли график y = f(x) построить затруднительно, то функцию f(x) можно представить в виде разности двух функций f(x) = f1(x) - f2(x), графики которых могут быть построены отдельно. Корни уравнения f(x) = 0 будут абсциссами точек пересечения этих графиков.
Аналитические методы отделения корней
Из теорем 1 и 2 следует, что, если на отрезке a,b функция f(x) непрерывна и моно- тонна, на концах имеет разные знаки, то уравнение f(x) = 0 внутри a,b имеет единственный корень.
Признаком монотонности функции f(x) на a,b является знакопостоянство ее первой производной на отрезке.
При аналитическом методе отделения корней функции f(x) нужно найти корни производной f '(x), которые укажут интервалы, подозрительные на содержание корней функции f(x). На концах этих интервалов проверяется условие первой теоремы. Если выполняется условие f(a) * f(b), то интервал содержит корень.
6.3.4 Метод деления отрезка пополам
Дана функция f(x) непрерывная на отрезке a,b и удовлетворяющая условию f(a) * f(b) <= 0. Точка (a + b) / 2 разбивает начальный отрезок на два a, (a+b)/2 и (a+b)/2, b.
Отрезок, на концах которого функция имеет одинаковые знаки, отбрасываем, как не содержащий корень. Оставшийся отрезок обозначим a1,b1. Длина b1 - a1 = (b - a) / 2. На k -м шаге деления отрезка пополам его длина будет равна
bk 
- ak = (bk - ak) / 2 k.
При k ® 
, lim(bk - ak) ® 0. Следовательно, при k ® , lim ak = lim bk = x*, где символом обозначена бесконечность.
Процесс деления отрезка прекращается при условии, что
ABS(bk - ak) <= Eps и ABS(f((ak + bk)/2))<= Eps,
где Eps - требуемая точность вычисления корня уравнения. В качестве приближенного значения корня принимается (ak + bk)/2.
Пример вычисления корня уравнения методом деления отрезка пополам в среде Mathcad показан в п. 6.5.1.
Процесс вычисления корня уравнения методом деления отрезка пополам показан на Рис. 6.1.а.
Рис. 6.1.а. Метод деления отрезка пополам
6.3.5 Метод хорд .
Дана функция f(x), непрерывная на a,b и удовлетворяющая условию f(a) * f(b) <= 0. Очередное приближение xK корня в методе хорд вычисляется по формуле
xk = xk-1 + f(xk-1) * (xk-1 - d) / (f(d) - f(xk-1)),
где xk-1 - предыдущее приближение корня, d - неподвижная граница отрезка, f(d) и f(xk-1) - значения функции в точках d и xk-1.
В качестве начального приближения x0 принимается одна из границ отрезка, удовлетворяющая условию
f(x0) * f''(x0) < 0 (6.1),
где f ''(x0) - значение второй производной функции в точке x0.
Противоположная граница будет неподвижной (точка d). Вычисления корня прекращаются при условии, что
abs(xk - xk-1) <= Eps и abs(f(xk)) <= Eps.
Пример вычисления корня уравнения методом хорд в среде Mathcad показан в п. 6.5.2. Процесс вычисления корня уравнения методом хорд показан на Рис 6.1.б.
Рис 6.1.б. Метод хорд