Задачи контрольной работы

ВВЕДЕНИЕ

Полный курс теоретической механики содержит три раздела: статика, кинематика и динамика. При выполнении контрольных заданий раздела «Статика» необходимо уметь вычислять проекции векторов сил на координатные оси, а также алгебраические моменты этих сил относительно центра (оси). Твёрдые знания по этим вопросам позволяют составлять уравнения равновесия для плоской системы сил.

По учебнику изучать курс рекомендуется по вопросам, приводимым ниже. При чтении особое внимание следует обратить на формулировки определений, теорем и т.п. (они обычно бывают набраны курсивом). В точных формулировках, как правило, бывает существенно каждое слово и необходимо понять, почему данное положение сформулировано именно так. Однако не следует стараться заучивать формулировки; важно понять их смысл и уметь изложить результат своими словами. То же самое относится и к доказательствам.

При изучении курса особое внимание следует уделить приобретению навыков решения задач. Для этого, изучив материал данной темы, надо сначала обязательно разобраться в решениях соответствующих задач, которые приводятся в учебнике, обратив особое внимание на методические указания по их решению. После этого решение соответствующей задачи из контрольного задания не вызовет существенных затруднений.

Указания по выполнению контрольных заданий приводятся ниже после контрольных вопросов, ими следует руководствоваться при решении соответствующих задач. Кроме того, к каждой задаче приводится пример решения.

Контрольные вопросы по статике

Основные понятия статики.

Аксиомы статики.

Связи и их реакции. Принцип освобождаемости от связей.

Сложение сил.

Проекция силы на ось и плоскость.

Равновесие системы сходящихся сил.

Теорема о трёх силах.

Момент силы относительно центр.

Пара сил. Момент пары.

Теорема об эквивалентности пар, вытекающие свойства пары.

Теорема Пуансо о параллельном переносе силы.

Теорема о приведении системы сил к центру.

Условия равновесия системы сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно центра (оси).

Плоская система сил. Алгебраические моменты силы и пары. Уравнения равновесия плоской системы сил (3 формы).

Равновесие составных конструкций.

Плоские фермы. Леммы о нулевых стержнях.

Расчёт плоских ферм (метод вырезания узлов и метод сечений).

Трение скольжения.

Трение качения.

Момент силы относительно оси.

Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил.

Уравнения равновесия пространственной системы сил. Случай параллельных сил.

Центр тяжести твёрдого тела. Координаты центра тяжести для объёмных тел.

Координаты центра тяжести плоской фигуры. Центр тяжести треугольника, сектора круга.

Координаты центра тяжести линии. Центр тяжести дуги окружности.

Методы нахождения центра тяжести твёрдых тел. Статический момент площади плоской фигуры относительно.

Библиографический список

Основной

Вереина Л.И. Техническая механика: учебник для сред.проф образования / Л.И.Веренина, М.М. Краснов. – 6=е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2012 – 352 с.

Дополнительный

Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Ч.1. – М.: Высшая школа, 2001. – 343 с.

Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике: Учеб. пособие – СПб.: Издательство «Лань», 1998. – 447 с.

 

Содержание заданий, выбор вариантов, порядок выполнения работ

Студенты в разделе «Статика» выполняют контрольную работу №1, содержащую задачи С1, С2, С3.

К каждой задаче даётся 10 рисунков и таблица, содержащая дополнительные к тексту задачи условия. Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по предпоследней цифре номера своей зачётной книжки, а номер условия в таблице – по последней. Например, если номер зачётной книжки оканчивается числом 57, то берутся рис.5 и условие №7 из таблицы для каждой из задач.

Контрольные работы выполняются в обычной ученической тетради, страницы которой нумеруются. На обложке разборчиво указываются: вверху номер зачётной книжки, далее номер контрольной работы по дисциплине, специальность, фамилия и инициалы студента, и адрес студента.

Задачи обязательно начинать на развороте тетради (на чётной странице, начиная со второй, иначе работу трудно проверять). Сверху указывается номер задачи, далее делается чертёж (можно карандашом) и записывается, что в задаче дано и что требуется определить (текст задачи не переписывается). Чертёж выполняется с учётом условий решаемого варианта задачи и должен быть аккуратным и наглядным; на нём все углы, действующие силы и их расположение на чертеже должны соответствовать этим условиям. Решение задачи необходимо сопровождать краткими пояснениями (какие формулы или теоремы применяются, откуда получаются те или иные результаты и т.п.) и подробно излагать весь ход расчётов. К работе, высылаемой на повторную проверку (если она выполнена в другой тетради), должна обязательно прилагаться незачтённая работа. На зачёте или экзамене необходимо представить зачтённые по данному разделу курса работы, в которых все отмеченные рецензентом погрешности должны быть исправлены.

При чтении текста каждой задачи учесть следующее. Рисунки даны без соблюдения масштаба, на них все линии, параллельные строкам, считаются горизонтальными, а перпендикулярные строкам – вертикальными. Все нити (верёвки, тросы) являются нерастяжимыми и невесомыми; нити, перекинутые через блок, по нему не скользят.

Методические указания по решению задач, входящих в контрольные работы, даются для каждой задачи после её текста под рубрикой «Указания», затем приводится пример решения аналогичной задачи. Цель примера – разъяснить ход решения, но не воспроизвести его полностью, поэтому в ряде случаев промежуточные расчёты опускаются. Но при выполнении контрольной работы все преобразования и числовые расчёты должны быть обязательно последовательно проделаны с необходимыми пояснениями; в конце должны быть даны ответы.

 

Задачи контрольной работы

Задача С1

Жёсткая рама, расположенная в вертикальной плоскости (рис. 0 – 9, табл. С1), закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках. В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р=25 кН. На раму действуют пара сил с моментом М=50 кН·м, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q=4 кН/м, которая действует на участке, указанном для каждого рисунка и сила F, модуль, точка приложения и направление которой указаны в таблице С1; в окончательных расчётах принять a=0,5 м. Направление действия распределённой нагрузки:

горизонтальный участок

вертикальный участок

Определить реакции связей в точках А, В, вызываемые действующими нагрузками.

Указания. Задача С1 – на равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил. При её решении учесть, что натяжения обеих ветвей нити, перекинутой через блок, когда трением пренебрегают, будут одинаковыми. Уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей. При вычислении момента силы F удобно разложить её на составляющие F’, F’’, для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона: . Если в результате решения задачи знак алгебраической величины какой-либо силы оказывается отрицательным, то это означает, что ее направление противоположно первоначально выбранному на чертеже. Необходимо помнить, что по закону действия и противодействия давление данного тела на связь равно по величине и противоположно по направлению реакции связи.

 

Пример С1. Дано:F =25 кН, α=60°, P=18 кН, γ =75°,M =50 кН·м,q =2 кН/м, β=30°,a =0,5 м (рис. С1).

Определить реакции в точках A,B, вызываемые действующими нагрузками.

Решение. Рассмотрим равновесие рамы. Проведём координатные оси xy и изобразим действующие на раму силовые факторы: силуF, пару сил с моментом ^ М, натяжение троса T (по модулю Т=Р), реакции связейX_A, Y_A, R_B (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя её составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости); равномерно распределенную нагрузку интенсивности q, действующую на участкеBC, заменяем сосредоточенной силойQ (по модулюQ =q·2a= 2 кН), которая приложена посередине участка.

Для равновесия данной плоской системы сил необходимо и достаточно выполнения трёх уравнений: суммы проекций всех сил на координатные оси x и y, а также сумма их моментов относительно любого центра равны нулю. В третьем уравнении при вычислении момента силы F относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т. е. разложим силу F на составляющие F’, F’’ F’ = Fcosα и учтём, что . Получим:

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Ответ: X_A =-10.25 кН; Y_A =-22.81 кН; R_B =6.72 кН. Знаки указывают, что силы X_A и Y_A направлены противоположно показанному на рис. С1.

Выполним проверку решения. Для этого составим еще одно дополнительное уравнение моментов относительно такой точки, чтобы в уравнение вошли найденные реакции X_A, Y_A; R_B. Например, в качестве проверочного можно записать уравнение моментов относительно точки E:

При указанных значениях X_A, Y_A, R_B последнее уравнение равно нулю с точностью до третьего знака после запятой (погрешность зависит от ошибки, с которой вычислялись искомые реакции), следовательно, задача решена верно.

 

Таблица С1

Номер условия
Сила F, кН	модуль
точка прилож.	K	H	E	K	H	D	K	H	E	K
αо
направление

Рис. 1 (q на отрезке СЕ) Рис. 2 (q на отрезке KЕ)

Рис. 3 (q на отрезке СН) Рис. 4 (q на отрезке KС)

Рис. 5 (q на отрезке НE) Рис. 6 (q на отрезке KН)

Рис. 7 (q на отрезке KD) Рис. 8 (q на отрезке CD)

Рис. 9 (q на отрезке HE) Рис. 10 (q на отрезке CD)

Задача С 2

Плоская ферма, расположенная в вертикальной плоскости, закреплена в точках А и В, причём в одной из них шарнирно-неподвижно, а в другой опирается на подвижный шарнир (рис. 0 – 9). К ферме приложена наклонная сила А, для которой модуль и уголα указаны в таблице С2, горизонтальная сила Q и вертикальная P; в расчётах принять Q = 5 кН, Р = 20 кН, a=3 м.

Определить опорные реакции в точках А и В, усилия в стержнях 1, 2, 3, 4 методом вырезания узлов, а в стержнях 5, 6, 7 – методом сквозных сечений (Риттера)

Указания. Задача С2 – на расчёт плоской фермы, который сводится к определению опорных реакций и усилий в её стержнях. Опорные реакции можно найти обычными методами статики из 3-х уравнений равновесия, рассматривая ферму в целом как твёрдое тело.

При определении усилий в стержнях методом вырезания узлов мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние силы, реакции самих стержней и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому узлу:

Условно предполагают, что все стержни растянуты, т.е. реакции стержней направлены от узлов. Если в результате вычислений получен ответ со знаком минус, то это значит, что соответствующий стержень сжат. Последовательность рассмотрения узлов обычно определяется условием: число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать числа уравнений равновесия, т.е. двух.

Методом Риттера удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности, для проверочных расчётов. Для определения усилия в каком-нибудь стержне ферму рассекают на две части сечением, проходящем через три стержня, в том числе и через тот, в котором определяется усилие. Одну из частей вместе с приложенными к ней силами мысленно отбрасывают, а её действие заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней в сторону отброшенной части. Затем составляют уравнения моментов сил, действующих на рассматриваемую часть фермы, относительно точки пересечения двух рассечённых стержней, усилия в которых на данном этапе не определяются. Эта точка пересечения называется точкой Риттера. Если точка Риттера находится в бесконечности, т.е. стержни параллельны, то составляют уравнение суммы проекций сил, приложенных к рассматриваемой части фермы, на ось, перпендикулярную этим параллельным стержням.

Пример С2. Схема фермы, все действующие нагрузки и размеры показаны на рис. С2.1.

Дано: Р=10 кН, F=30 кН.

Определить опорные реакции и усилия в стержнях 1 – 4 методом вырезания узлов, 5 – 7 – методом сквозных сечений.

Рис. С2.2

 

Составляются три уравнения равновесия:

 

Из первого уравнения Х_А=5 кН,

из третьего кН,

из второго кН; знак «–» показывает, что истинное направление Y_A противоположно изображённому на рис. С2.2.

Проверка:

При определении усилий в стержнях 1 – 4 методом вырезания узлов сначала мысленно вырезается узел D (в нём сходятся два стержня, усилия в которых неизвестны), и изображаются все приложенные к нему силы и реакции (рис. С2.3).

Рис. С2.3 Рис. С2.4

По геометрическим размерам фермы (рис. С.2.5) , следовательно, sinα =0,3714, cosα=0,9285. Уравнения равновесия имеют вид

Затем вырезается узел А (рис. С2.4), здесь неизвестны усилия S₃, S₄

При определении усилий в стержнях 5 – 7 методом Риттера ферма рассекается по этим трём стержням на две части. Одна из частей вместе с приложенными к ней нагрузками мысленно отбрасывается, а её действие на оставшуюся часть заменяется усилиями S₅, S₆, S₇, которые направлены вдоль соответствующих стержней в сторону отброшенной части (рис. С2.5).

Для определения S₅ составляется уравнение моментов от сил, приложенных к оставшейся части фермы, относительно точки пересечения двух остальных разрезанных стержней (точка L).

Рис. С2.5

Для определения S₆ составляется уравнение моментов относительно точки N.

При определении S₇ составляется уравнение моментов относительно точки Е.

Результат S₄ = S₇ согласуется с леммой 2 о нулевых стержнях [1, §12], что является дополнительной проверкой результатов счёта.

Ответ: X_A=5кН; Y_A= -14,66 кН; R_B=40,64 кН; S₁ = 4 кН; S₂ = –10,77 кН; S₃ = 13,1 кН; S₄ = –12,61 кН; S₅ = 12,19 кН; S₆ = –23,58 кН; S₇ = –12,61 кН. Знаки указывают, что сила Y_A направлена противоположно показанному на рис. С2.2, стержни 2,4,6,7 – сжаты, 1,3,5 – растянуты.

Таблица С2

Номер условия
F, кН
αо

 

 

Задача С3

Определить координаты центра тяжести плоской фигуры, изображённой на соответствующем варианту задания рисунке (рис. 0 – 9), с учётом геометрических данных табл. С3.

Указания. Задача относится к теме: определение положения центра тяжести плоских фигур. В решении необходимо применить способ разбиения, при котором плоская фигура разбивается на простейшие части (прямоугольник, треугольник, полукруг), для которых положение центра тяжести известно:

для прямоугольника (квадрата) – на пересечении диагоналей;

для прямоугольного треугольника – в точке пересечения отрезков, проведённых на расстоянии 1/3 длины соответствующего катета ему перпендикулярно от вершины прямого угла;

для полукруга – на оси симметрии полукруга на расстоянии 4 от центра соответствующего круга.

Координаты центра тяжести плоской фигуры определяются по формулам

где – x_i, y_i координаты центра тяжести простейшей части фигуры, S_i – её площадь, – суммарная площадь.

Для фигур, имеющих вырезы в виде простейших частей, применяется частный случай способа разбиений – способ дополнения (метод отрицательных площадей).

Пример С3. Определить координаты центра тяжести плоской фигуры, изображённой на рис. С3 при следующих данных: а=40 см, b=100 см, r=20 см.

Решение. Фигура разбивается на три простейшие части: прямоугольник, треугольник, полукруг, площади которых соответственно равны S₁=40·60=2400 см², S₂ =40·40/2=800 см², S₃ =π·20²/2=628 см².

Площадь всей фигуры

Рис. С3

Центры тяжестей рассматриваемых частей фигуры имеют следующие координаты:

для прямоугольника х₁=30 см, y₁=20 см;

для треугольника х₂=60+40/3=73,3 см, y₂=40/3=13,3 см;

для полукруга х₃=40 см, y₃=40-4·20/(3·π)=31,5 см.

Координаты центра тяжести фигуры в целом вычисляются по формулам

Ответ: x_C = 41 см, y_C = 15,1 см.

Таблица С3

Номер условия
α, см
β, см
γ, см