Анализ и синтез.
Расчленение предметов на части есть анализ. Составление предмета из частей есть синтез. Ребенок, разбирающий игрушку, проводит своеобразный анализ (ему интересно, как она устроена); ребенок, собирающий игрушку из частей, проводит своеобразный синтез.
В первоначальном понимании анализ рассматривается как путь (метод мышления) от целого к частям этого целого, а синтез – как путь (метод мышления) от частей к целому. В дальнейшем анализ стали понимать как прием мышления, при котором от следствия переходят к причине, породившей это следствие, а синтез – как прием мышления, при котором от причин переходят к следствию, порожденному этой причиной.
***
Р. Декарт (1596-1650) в книге «Логика» наглядно проиллюстрировал оба метода на следующем примере: «Поставим вопрос, родственник ли я королю Карлу Великому? К ответу на этот вопрос можно идти двумя путями. Можно «идти по родословному древу» в прошлое: от меня до Карла Великого (анализ). Также можно «идти по родословному древу» из прошлого: от Карла Великого до меня (синтез). Если мы окажемся на одном родословном древе, то мы родственники».
***
Примером применения анализа и синтеза могут служить арифметический и алгебраический методы решения текстовой задачи. Арифметический метод иллюстрирует синтез, алгебраический – анализ.
Пример 1.
В одном бидоне было 36 л молока. Когда из него перелили в другой бидон 4 л, то в этих бидонах молока стало поровну. Сколько молока было в другом бидоне?
I способ (синтез):
1) 36 – 4=32 (л) – стало молока в первом бидоне;
2) 32 – 4=28 (л) – было молока во втором бидоне.
Ответ: во втором бидоне было 28 л молока.
II способ (анализ):
Пусть во втором бидоне было х литров молока, тогда
х+4=36 – 4
х=28
Ответ: во втором бидоне было 28 л молока.
Анализ (аналитический) понимают как метод исследования, основу которого составляет количественное изучение свойств объекта, опирающихся на понимание числа и меры, а синтез (синтетический) как метод исследования, основу которого составляет изучение качественных свойств объекта. Этому пониманию анализа и синтеза отвечает такая научная дисциплина, как аналитическая геометрия. Анализ и синтез находятся в диалектическом единстве.
В мыслительных процессах синтез непрерывно переходит в анализ и наоборот. Единство анализа и синтеза отчетливо выступает в сравнении. Сравнение можно охарактеризовать как анализ, который проходит с использованием синтеза и ведет к некоторому обобщению, к новому синтезу.
***
Например, при доказательстве равенства двух данных треугольников сначала вычленяем их элементы (углы, стороны) – проводим анализ, затем делаем заключение о равенстве углов и сторон – проводим синтез. На основе полученных заключений делается вывод о том, равны или нет эти треугольники – проводится новый синтез. Сравнение начинается с соотнесения или сопоставления явлений, т.е. с синтетического акта, в результате которого производится анализ сравниваемых явлений – выделение в них общего и различного. Выступающее в результате анализа общее в свою очередь объединяет, т.е. синтезирует обобщаемые явления.
Сравнение – это такая конкретная форма взаимосвязи анализа и синтеза, посредством которой осуществляется эмпирическое обобщение и классификация явлений. Роль сравнения особенно велика на уровне эмпирического познания, на начальных его ступенях, в частности у ребенка.
3.2. Анализ и синтез в обучении школьников. Анализ и синтез являются важнейшими методами обучения школьников. Проиллюстрируем их применение на примерах.
Аналитический метод состоит в следующем: отправляемся от заключения и, опираясь на известные предложения, показываем, что заключение является логическим следствием условия.
Пример 2.
Задача: Треугольник АВС вписан в круг. Через вершину А проведена касательная, а через точку В прямая, параллельная касательной до пересечения с прямой АС в точке D. Доказать, что длина отрезка АВ – сред- нее геометрическое отрезков АС и АD.
Дано: ⃦ : (1) |
Доказательство:
Рассуждаем от вопроса (заключения).
Чтобы доказать (1), надо доказать (2)
Чтобы доказать (2), надо доказать (3),
*получено делением равенства (2) на произведение АВ·АС*
Чтобы доказать (3), надо доказать подобие треугольникоа АВС и АВD, т.е.
(4)
Подобие будет доказано, если будет установлено, что равны, например, две пары соответсвтенных углов: – общий (это очевидно),
(5)
Чтобы установить (5), нужно рассмотреть соответствующие вписанные углы. Итак: . равен половине центрального , т.е. половине дуги ВА (следует из рассмотрения углов равнобедренного и того факта, что 3). также опирается на дугу ВА, значит равен половине дуги ВА. Значит, . Тем самым (5) доказано. |
Рассмотренная форма сединения анализа и синтеза представляет собой восходящий анализ. В этой форме аналитического метода от следствия восходят к основанию, поэтому он так и называется. В действительности он неизменно связан с синтезом. Процесс нахождения на каждом последующем этапе достаточного основания является аналитическим процессом (так как из многих возможных оснований выбирается одно) и синтезом (так как устанавливается логическая связь между основанием и следствием: из основания выводится следствие).
Восходящий анализ дает возможность найти доказательство сформулированной теоремы: рассуждение имеет отправной пункт, мотивируются дополнительные построения и логические переходы, намечается план доказательства. Поэтому важно научить учащихся пользоваться этим методом.
Нисходящий анализ.
Существует еще одна форма соединения анализа и синтеза, при которой мы на каждом шаге находим следствие из искомого (например, задачи на построение в геометрии). Такую форму соединения анализа с синтезом называют нисходящим анализом.
Пример 5. Длины сторон треугольника а, b, с образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что abc=6Rr (1), где R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности.
Доказательство:
Предположим, что утверждение доказано.
Пример 6.
Ученица получила = . (1)
Значение нисходящего анализа состоит в том, что, во-первых, это деструктивный метод: может служить для опровержения предложений, ошибочно принятых за истинные без доказательства (см. Пример 6). Так применял его Сократ (470 – 399 гг. до н.э.). Во-вторых, он помогает строить план доказательства предложения. При отыскании плана доказательства (решения) нисходящий анализ легче восходящего (переход от предложения к следствию легче и привычнее для учащихся, чем подбор для следствия достаточного основания).