Общее уравнение кривых второго порядка
Кривыми второго порядка называются фигуры, множество точек которых расположено в плоскости двумерной системы координат.
Общее уравнение кривой второго порядка:
Ax2+By2+2Cxy+Dx+Ey+F=0
Где A2+B2+C2≠0
К кривым второго порядка относятся:
1. Окружность
2. Эллипс
3. Гипербола
4. Парабола
Определение и вывод канонического уравнения окружности.
Окружностью называется множество точек плоскости, удаленных на одно и то же расстояние, называемое радиусом, от фиксированной точки, называемой центром окружности.
Вывод канонического уравнения:
Пусть введена система координат и центр с координатами C (a, b). Тогда точка M (x, y) принадлежит окружности, если расстояние от центра до M будет равно радиусу: CM=R
(x-a) 2 +(y-b) 2 = R2
Это уравнение и называют каноническим уравнением окружности.
Определение и вывод канонического уравнения эллипса.
Эллипсом называют множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.
Выведем каноническое уравнение эллипса.
Таким оно будет в специально выбранной системе координат на плоскости: проведем прямую через фокусы F1 и F2 и направим её оси от первого ко второму, возьмем середину F1F2, обозначим её за О и поместим в О начало системы координат. Так определяется ось Ох. Повернем ось Ох относительно О на 90˚ против часовой стрелки и тем самым образуем ось Оy. Фокусы имеют координаты: F1 (-c, 0), F2 (c, 0).
√((x+c) 2 +y2 ) + √ ((x-c) 2 +y2 ) = 2a
√((x+c) 2 +y2 )= 2a-√ ((x-c) 2 +y2 )
x2+2xc+c2+y2=4a2-4a√ ((x-c) 2 +y2 )+ x2-2xc+c2+y2
4cx-4a2=-4a√ ((x-c) 2 +y2 )
a2 -cx =a√ ((x-c) 2 +y2 )
a4-2a2cx+c2x2=a2 ((x-c) 2+y2)
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
a4-a2c2=(a2-c2)x2+a2y2
(a2-c2)x2+a2y2=a2 (a2-c2)
a2-c2=b2
b2x2+a2y2=a2b2:a2b2
x2/a2+y2/b2=1 – каноническое уравнение эллипса
a>b a2>b2
Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению. Параметры эллипса; связь между ними.
y2=b2 (1-x2/a2)
y2=b2/a2 (a2-x2)
y2≥0
a2-x2≥0
x2≤a2
|x|≤a
|y|≤b
Эллипс находится внутри прямоугольника со сторонами а, b.
Если точка М0 (х0, у0) принадлежит эллипсу, то и точки М1 (-х0, у0), М2 (х0, -у0), М3 (-х0, -у0) принадлежат этому эллипсу. Это значит что эллипс имеет две оси симметрии – Ох и Оу, и центр симметрии – точку О. Заметим, что точки (а, 0) и (0, b) находятся на осях симметрии и принадлежат эллипсу. Эти точки пересечения эллипса с осями симметрии называются вершинами. Числа a и b называют полуосями эллипса, а 2a и 2b – осями эллипса.
Эксцентриситет эллипса. Оптическое свойство эллипса
Эксцентриситетом эллипса называют отношение расстояния между фокусами к большей оси.
E=2c/2a è E=c/a
a2-c2=b2
a2=b2+c2
E=√((a2-b2)/a2)= √(1-b2/a2)
b/a=√(1-E2)
0≤E≤1
Если Е=0, то это означает, что b=a, с=0, уравнение эллипса x2+y2=a2 – окружность с центром в начале координат и радиусом а. Иначе говоря, окружность – это эллипс с Е=0.
Если Е=1, то с=а, b=0, тогда эллипс становится отрезком [-a, a].
Если зафиксировать а, то смысл эксцентриситета становиться таким: чем больше эксцентриситет, тем больше вытянут эллипс вдоль оси Ох.
Оптическое свойство эллипса.
Предположим, что изнутри эллипс покрыт зеркальным веществом. Пусть из одного фокуса посылают световой луч. Отражаясь от касательной к эллипсу в точке падения луча, он попадает во второй фокус эллипса.
Параметрические уравнения окружности и эллипса.
Возьмем окружность: x2+y2=R2
Параметрическое уравнение окружности
{X=Rcos(t)
{Y=Rsin(t)
Если t принадлежит [0,2П], то точка М(х, у) принадлежит окружности.
Параметрическое уравнение эллипса:
Y=b*sin(t)
x2/a2+b2sin2 (t)/b2=0
x=a*cos(t), т.к знак cos(t) и знак x во всех четвертях совпадают.
0≤t≤2П, {x=a cos(t)
{y=b sin(t)
7. Связь между параметрами эллипса в случае b>a.
Если a<b, то b2=a2+c2, c2=b2-a2
E=c/b
a/b=√(1-E2)
Эллипс вытянут вдоль оси Оу.
Определение и вывод канонического уравнения гиперболы
Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Для вывода канонического уравнения гиперболы используется такая же система координат, как и для эллипса. (см билет №3)
√((x+c) 2+y2)- √((x-c) 2+y2)=±2a
(√((x+c) 2+y2))2=(√((x-c) 2+y2) ±2a) 2
x2+2xc+c2+y2=x2-2xc+c2+y2±4a√((x-c) 2+y2)+4a2
4cx-4a2=±4a√((x-c) 2+y2)
c2x2-2cxa2+a4=a2(x2-2cx+c2+y2)
c2x2+a4=a2x2+a2c2+a2y2
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)
c2-a2>0 т.к. c>a
c2-a2=b2
b2x2-a2y2=a2b2: a2b2
x2/a2-y2/b2=1 – каноническое уравнение гиперболы
Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению. Уравнение асимптот гиперболы
Т.к уравнение содержит только x2 и y2, то, как и в случае эллипса, доказывается, что гипербола имеет две оси симметрии (Ох и Оу) и центр симметрии в точке О.
Выразим из уравнения у.
x2/a2-1=y2/b2
y2=b2x2/a2-b2
y=±b/a√(x2-a2)
x2≥a2
|x|≥a
y=0 при x=±a
x≠0 ни при каких y
F (±c, 0) – фокусы гиперболы.
График гиперболы в первой четверти: y=b/a*√(x2-a2)
Найдем асимптоту гиперболы:
y=kx+h
k=lim(x=>+∞) b√(x-a)/(ax)= lim(x=>+∞) b|x|√(1-a2/x2)/(ax)= lim(x=>+∞) b/a√1=b/a
h= lim(x=>+∞) (b/a√(x2-a2)-b/a*x)=b/a lim(x=>+∞) (√(x2-a2)-x) = b/a lim(x=>+∞) ((x2-a2-x2)/(√ (x2-a2)+x)=b/a * -a2/∞=0
Прямая y=b/a *x является асимптотой гиперболы в первой и третьей четверти. Очевидно, что прямая y=-b/a *x является асимптотой во второй и четвертой координатных четвертях.
Числа а и b называют вещественной и мнимой полуосями соответственно. Числа 2а и 2b – вещественной и мнимой осями.