Класс (условия и решения)

Второй (муниципальный) этап

Всероссийской олимпиады школьников по физике

Класс (условия и решения)

7.1. Поплавок для удочки склеен из двух кубиков – первый из пенопласта (плотность 0,5 г/см³) и второй из алюминия (плотность 2,7 г/см³). Найти среднюю плотность этого поплавка, если кубики взяты одинаковых размеров. Какой станет эта плотность, если взять кубики одинаковых масс?

Решение

Для начала обозначим объемы одинаковых кубиков через V, тогда массы кубиков будут равны

m _п=ρ_п V и m _а=ρ_а V.

Найдем плотность получившегося поплавка

ρ= = = = 1,6 г/см³.

Ясно, что такой поплавок сам по себе плавать не будет, а сразу утонет.

Теперь найдем плотность поплавка, собранного из кубиков равной массы. Обозначим массы кубиков через m. Тогда объемы кубиков будут равны

V _п= m/ ρ_п и V _а= m/ ρ_а.

Найдем плотность получившегося поплавка:

ρ= = = = г/см³ ≈ 0,84 г/см³.

Этот поплавок вполне сможет держаться на воде.

 

7.2. Жук три минуты ползет вдоль прямой. Его средняя скорость за первую минуту движения составила 5 см/с, за первые две минуты средняя скорость оказалась 7 см/с, а за три минуты средняя скорость составила 8 см/с. Какое расстояние он прополз за третью минуту? Найти также среднюю скорость жука за две последние (вторую и третью) минуты движения.

Решение

За первую минуту жук прополз расстояние S ₁ = V ₁ · 1 мин = 5 см/с · 60 с = 300 см.

Найдем расстояние S ₃, которое прополз жук за все время движения, и расстояние S ₂, которое он прополз за первые две минуты:

S ₃ = V ₃ · 3 мин = 1440 см, S ₂ = V ₂ · 2 мин = 840 см.

Теперь найдем расстояние L ₃, которое жук прополз за третью минуту:

L ₃ = S ₃ – S ₂ = V ₃ · 3 мин – V ₂ · 2 мин = 600 см.

Найдем среднюю скорость жука за две последние (вторую и третью) минуты движения, для чего найдем расстояние L ₂₃, которое жук прополз за эти две минуты:

L ₂₃ = S ₃ – S ₁ = V ₃ · 3 мин – V ₁ · 1 мин = 1140 см.

Поэтому средняя скорость жука за вторую и третью минуты равна

V ₂₃ = L ₂₃ / 2 мин = 9,5 см/с.

 

7.3. Ахиллес на Олимпиаде по совету тренера бежал по следующему графику: в начале каждой новой секунды он увеличивал (мгновенно) скорость на 1 м/с (до начала первой секунды его скорость была нулевой). Каков результат атлета на дистанции длиной 200 м? За какое время герой пробежал первую половину дистанции?

Решение

Поскольку Ахиллес бежит, каждую секунду увеличивая скорость на 1 м/с, то за каждую n -ю секунду он пробегает n метров. За n секунд Ахиллес пробегает 1 + 2 + 3 + … + n = метров (пройденный Ахиллесом путь можно найти и путем непосредственного суммирования целых чисел, без использования этой формулы). Можно сообразить, что к концу 19-й секунды он пробежал 190 м.

Оставшуюся часть пути (10 м) он бежал со скоростью 20 м/с. В итоге его время равнялось 19,5 с. Ахиллес – эпический герой, потому он мог бегать почти так же быстро, как современный мировой рекордист Усейн Болт (его время в 2009 г. равнялось 19,19 с).

Найдем, за какое время Ахиллес преодолел первые 100 метров. За 13 с он пробежал 91 метр, остальные 9 метров наш герой пробежал за (9 м)/(14 м/с) ≈ 0,64 с. Таким образом, на преодоление первой половины дистанции ему потребовалось ≈ 13,64 с, что гораздо хуже современного мирового рекорда в беге на 100 м: 9,58 с (Ямайский бегун Усейн Болт в Берлине 19.08.2009 г).

 

класс (условия и решения)

8.1. Поплавок для удочки склеен из двух шариков – первый из пенопласта (плотность 0,5 г/см³), а второй – из алюминия (плотность 2,7 г/см³). Утонет ли поплавок, если шарики взяты одинаковых размеров? А если взять шарики одинаковых масс?

Решение

Для начала обозначим объемы одинаковых шариков через V, тогда массы шариков будут равны

m _п = ρ_п V и m _а = ρ_а V.

Найдем плотность получившегося поплавка:

ρ = = = = 1,6 г/см³.

Ясно, что такой поплавок сам по себе плавать в воде не будет, а сразу утонет.

Теперь найдем плотность поплавка, собранного из шариков равной массы. Обозначим массы шариков через m. Тогда объемы шариков будут равны

V _п= m/ ρ_п и V _а= m/ ρ_а.

Найдем плотность получившегося поплавка:

ρ= = = = г/см³ ≈ 0,84 г/см³.

Этот поплавок вполне сможет держаться на воде.

 

8.2. По двум взаимно перпендикулярным дорогам едут легковой автомобиль и грузовик с постоянными скоростями, величины которых равны 108 км/час и 81 км/час соответственно. Автомобиль проехал перекресток этих дорог в 12-00-00, а грузовик этот же перекресток проехал на 20 минут позже. В какой момент времени расстояние между автомобилями было наименьшим и чему оно было равно?

Решение

 

В 12-00-00 расстояние между автомобилями было равно 81 км/час ∙ (20/60) ч = 27 км (см. левый рис.). Расстояние между ними через 20 минут стало равно 108 км/час ∙ (20/60) ч = 36 км.

Если пересесть в систему отсчета автомобиля, то в ней грузовик движется со скоростью = 135 км/час (см. правый рис.).

До места, соответствующего минимальному расстоянию, ему в этой системе отсчета нужно проехать расстояние

S = 27·(81/135) = 16,2 км.

На это ему потребуется время: (16,2/135)∙60 = 7,2 мин. При этом минимальное расстояние между автомобилями было равно: L _min = 27∙(108/135) = 21,6 км.

 

8.3. Электростанция общей мощностью P = 1 ГВт работает на природном газе, и электроэнергия производится с помощью паровых турбин, тепловой КПД которых равен 30%. Вместе с продуктами сгорания газа 20% тепловой энергии сгоревшего газа сразу «вылетает в трубу». Оставшиеся η = 50% поступают зимой в систему отопления города. Для охлаждения и конденсации пара в замкнутом контуре электростанции применяется теплообменник, в который охлаждающая вода поступает при температуре T ₁ = +40°С, а выходит при температуре T ₂ = +80°С. Эта вода используется для отопления домов соседнего микрорайона. Какой диаметр должны иметь трубы, подводящие горячую воду в город, если скорость течения воды в них не должна превышать V _max = 5 м/с?

Решение

Расход воды должен быть таким, чтобы количество теплоты, подводимое в теплообменник, полностью поглощалось протекающей холодной (T ₁ = +40°С) водой, нагревающейся до температуры T ₂ = +80°С.

Массовый расход воды в теплообменнике равен μ= ρ S _min V _max.

Запишем уравнение теплового баланса:

P ·η = (T ₂– T ₁)· C _воды·μ = (T ₂– T ₁)· C _воды·ρ· S _min· V _max,

откуда

S _min = = = 1000000000·0,5/[(80 – 40)·4200·5·1000] ≈ 0,60 м²,

8.3* Для школьников, обучающихся по учебнику Пурышевой Н. С.) Ко дну сосуда с водой на поворотную ось прикреплена однородная прямая сосновая рейка длиной l = 1 м. Высота уровня воды в сосуде равна h = 0,6 м. Какая часть длины рейки при этом погружена в воду (см. рисунок)?

Плотность воды ρ_в = 1000 кг/м³, плотность сосны ρ_с = 640 кг/м³.

Решение

Рассмотрим силы, действующие на рейку: сила тяжести mg, сила реакции опоры N и выталкивающая сила F, действующая на погруженную в воду часть длины a рейки (см. рисунок). Выталкивающая сила F по закону Архимеда равна весу вытесненного рейкой объема V воды, то есть

F = ρ_в gV = ρ_в g (m ₁ / ρ_c).

Здесь – масса погруженной в воду части рейки.

Рассмотрим рейку, как рычаг, и воспользуемся «золотым правилом механики»:

mg cos φ (l /2) = ρ_в g (m ₁ / ρ_c) cos φ (a /2).

(школьники, не знакомые с тригонометрическими функциями, могут воспользоваться для получения этого соотношения подобием треугольников).

Отсюда длина прогруженной в воду части рейки равна м, т.е. в воду погружено 4/5 рейки, или 80% ее длины.

При необходимости можно найти угол j, который составляет рейка с горизонтом:

, откуда j » 48,6°.