| Цель изучения: | усвоить учебные элементы на уровне знаний и умения применять их для решения подобных задач. |
Учебные вопросы:
1. Функция распределения дискретной случайной величины. Свойства.
2. Функция плотности распределения. Свойства. Функция плотности распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону.
Краткие сведения из теории
I. Функцией распределения (интегральная функция распределения) случайно величины 
называется функция 
, которая для любых чисел 
равна вероятности события 
, т.е.:
 .
| 
|
Основные свойства функции распределения:
1) 
;
2) – неубывающая функция;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Задача 3.45. Дан закон распределения дискретной случайной величины:
|
| -1 | |||
| 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,4 |
Найти функцию распределения и построить ее график.
Решение. 1) Если 
, то 
. Действительно, значений, меньших числа 
случайная величина не принимает, поэтому при 
.
2) Если 
, то 
.
3) Если 
, то 
. Действительно, случайная величина может принять значение с вероятностью 0,2 и значение 2 с вероятностью 0,1. Тогда, может принять одно из этих значений (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 
.
4) Если 
, то
. (Рассуждения аналогичны п.4).
5) Если 
, то 
. Действительно, событие 
является достоверным и вероятность такого события равна единице.
Таким образом, искомая функция распределения будет иметь вид:
Построим график этой функции:
Ответ.
Задание для самостоятельной работы
Задача 3.46. Дан закон распределения дискретной случайной величины:
|
| ||||
|
| 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
Найти функцию распределения и построить ее график.
Задача 3.47. Дан закон распределения дискретной случайной величины:
|
| -2 | |||
|
| 0,15 | 0,25 | 0,1 | 0,5 |
Найти функцию распределения и построить ее график.
II. Функцию плотности распределения (плотность распределения) 
имеет только непрерывная случайная величина. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
 .
| 
|
Основные свойства плотности распределения:
1) 
;
2) 
.
Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет очень важную роль в теории вероятностей. Он является предельным законом, т.е. законом, к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения. Нормальный закон распределения часто встречается на практике.
Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами 
и 
, если ее плотность распределения имеет вид:
 .
| 
|
График нормальной кривой изображен на рисунке 3.2.
Рис. 3.2. График плотности распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону.
Задача 3.48. Записать функцию плотности распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, если даны параметры распределения: 
, 
.
Решение. По формуле 
находим среднее квадратическое отклонение 
. Подставим данные в формулу и запишем искомую функцию:
.
Ответ. 
.
Задача 3.49. Нормальное распределение случайной величины задано плотность распределения: 
. Найти математическое ожидание и дисперсию .
Решение. Из формулы находим математическое ожидание 
и дисперсию 
и по формуле 
.
Ответ. 
; 
.
Задание для самостоятельной работы
Задача 3.50. Записать функцию плотности распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, если даны параметры распределения: а) 
, 
; б) 
, 
.
Задача 3.51. Нормальное распределение случайной величины задано плотность распределения: 
. Найти математическое ожидание и дисперсию .